等比数列概念优秀课程教案
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2021年01月21日 10:31
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2元-
,.
等比数列的概念教案
教学目标
1
．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运 用它
的通项公式．
2
．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维
等能力．
3
．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．
教学重点和难点
重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用．
难点：对要领的深刻理解．
教学过程设计
(
一
)
引入新课
师：前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差数列，今天我们一
起研究第二类新的数列──等比 数列．
(
板书
)
三
等比数列
(
二
)
讲解新课
,.
师 ：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个
是差，一个是比，你能否仿照等差数列， 举列说明你对等比数列的理解．
(
要求学生能主动的用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解
)
生：数列
1
，
3
，
9
，
27< br>，…
师：你为什么认为它是等比数列呢？
生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列．
(
先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，以防限制其他学生的思维
)
师：这是你对等比数列的理解，不过这 个例子中的项是一项比一项
大，能否再举一个一项比一项小的．
师：你对等比数列的理解呢？
生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数．
师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例
子．
(
若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了
)
,.
师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有
实际应用价值，那 么能否再举一个生活中的等比数列例子．
生：如生物学中细胞分裂问题 ：
1
个细胞经过一次分裂变为
2
个细
胞，这两个细胞再继续分裂成为
4
个细胞．这样分裂继续下去，细胞个
数从
1
到
2
到
4
到
8
，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数
列
1
，
2
，
4
，
8
，
16
，…这 个数列就是等比数列．
师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的 数学问题，还能把
数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它
确有很 高的研究价值．
说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个
定义呢？
生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这
个数列就叫做等比 数列．
师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来 ，
这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这
个比，调整之后，再找 一位同学准确描述一下等比数列．
生：如果一个数列，从第二项起．每 一项与前一项的比都等于一个
常数，那么这个数列叫做等比数列．
师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来．
,.
(
板书
)1
．定义
如果一个数列，从第二项起 ，每一项与前一项的比
都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记
作
q
．
(
教师在叙述的同时，再强 调为突出所做出的比都相等，应写为同
一个常数更准确
)
师： 记住这句话并不难，关键是如何理解它，并利用它解决问题，
先回到刚才几个例子看它们是否是等比数列 ，如果是，公比是多少？
师：好，公 比会找了，再来看这样一件事，等比数列从定义上与等
差数列有很多密切关系使我们想到，有没有这样的 数列，它既是等差数
列也是等比数列呢？
生：有，如数列1
，
1
，
1
，
1
，…是一个以
0为公差的等差数列，也
是以
1
为公比的等比数列．
师：除了这个数列以外，还能再举一个吗？
,.
师：他们举的例子都是对的，而且从例子中数列的特征，使我们联
想到，
形如
a
，
a
，
a
，
…
(a
∈
R)
的数列好像都满足既是等差又是等比数列，
是这样吗？
(
可让学生作短暂的讨论，再找学生回答
)
生：形如
a
，
a
，
a
，…这样的数列一 定是等差数列
(
这一点可以由等
差数列的定义加以证明
)
．但它未必 是等比数列．
师：能具体解释一下吗？
生：当
a=0
时，数列每一项均为零，都不能作比，因此不是等比数
列，a
≠
0
时，此数列是等比数列．
师：这 个回答非常准确，通过对这个问题的研究，对于我们进一步
认识等比数列有什么帮助吗？从中得到什么启 示吗？
生：等比数列中的每一项都不能为零，因为在定义中，数列中每 一
项都要做分母，所以均不能为零．
师：
这一点实际 上是隐含在定义的叙述之中的，
从另一个角度上讲，
数列各项均不为零是这个数列成等比数列的 什么条件呢？
生：是必要非充分条件．
师：这是我们对等比数列进一步理解得到第一点共识．
(
板书
)2
．对定义的理解
,.
(1)
“
a
n
≠
0
”是数列｛
a
n
｝成等比数列的必要非充分条件．
师：这一点是对等比数列的项的特殊要求，这与等差数列也是不同
的．
下面从另外一个角度研究一下定义，数学定义一般都是用文字语言
叙述表达的，但是 在使用时往往需要符号化，因此下面试用数学符号语
言来描述它？
师：这种描述过于具体，能否用简单的一个式子来概括这么多个比
的等．
师：由于
n
可取任意自然数，故
a
n+1
可表示数列中每一项，
a
n
可表
示相应的前一项， 因此这一个比可以代表无数多个比的相等，所以这个
式子与定义是等价的．
师：这个比式也可作为我们判断一个数列
{an
}
是否是等比数列的依
据．
这样我们就完成了对等比数列的定义的研究 、
回顾一下研究过程．
主
,.
要做了这样两件事：一是利用类比方法得到了 等比数列的定义；二是用
抽象概括将定义翻译为符号语言，并能利用它证明一个数列是否是等比
数列．
下面要进一步研究等比数列，必须先搞清怎么表示一个等比数列 ，
要表示数列，需先确定这个数列，确定一个等比数列几个条件呢？
生：两个条件．
师：哪两个条件？
生：可以是首项和公比
师：如果等比数列｛
a
n
｝，首项为
a
1
，公比为
q
，你会用什么方 法
来表示这个等比数列呢？
生：可以表示为
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
…这是常用的列举法
师：刚才举例时用的就是这种表示方法，除此之外，还有其它表示
法吗？
师：这两种表示法各有所长，但使用最方便的还是通项公式 法．即
如果已知
{a
n
}
是等比数列，首项是
a
1
，公比是
q
，如何用
n
的解析式表
示数列中的第
n
项呢？