七年级 新题型规律问题之等差数列
余年寄山水
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2021年01月21日 10:43
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七年级
新题型等差数列
（一）教学目标
1
．知识与技能
:
通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题
情境中，发现数列的 等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
2.
过程与方法
:
通过日常生活中实际问题分析，引导学生观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；
由学生建立等差数列模型，用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在
操作过程中。
通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3
．情态与价值
:
培养学生观察、归纳转化为数学问题 的能力，培养学生的应用意识。
（二）教学重、难点
重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式 解决一些简单的问
题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
（三）学法与教学用具
学法：
引导学生首先从四个现 实问题
（数数问题、
女子举重奖项设置问题、
水库水位问题、
储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
（四）教学设想
[
创设情景
]
在以前的学习中我们了解了数列的相关知识。在日常生活中，人口增长、教育贷款 、存款利息等等这
些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天 我们就先学习一类
特殊的数列。
[
探索研究
]
由学生观察分析并得出答案：
在现实生
活中，我们经
常这样数
数，
从
0
开
始，每
隔
5
数
一次，
可以得到
数列：
0
，
5
，
___ _,____,____,____,
……
2000
年，
在澳大利 亚悉尼举行的奥运会上，
女子举重被正式列为比赛项目。
该项目共设置了
7
个 级别。
其中较轻的
4
个级别体重组成数列（单位：
kg
）
：
48
，
53
，
58
，
63
。
< br>水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的
水位为
18cm
，自然放水每天水位降低
2.5m
，最低降至
5m
。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的
那天，水库每天的水位组成数列（单位：
m
）
：
18
，
15.5
，
13
，
10.5
，
8
，
5.5
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我国现行储蓄制度 规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按
照单利计算本利和的公 式是：本利和
=
本金×（
1+
利率×寸期）
.
例如，按活期 存入
10 000
元钱，年利率是
0.72%
。那么按照单利，
5< br>年内各年末的本利和分别是：
时间
第
1
年
第
2
年
第
3
年
第
4
年
第
5
年
年初本金（元）
10 000
10 000
10 000
10 000
10 000
年末本利和（元）
10 072
10 144
10 216
10 288
10 360
各年末的本利和（单位：元）组成了数列：
10 072
，
10 144
，
10 216
，
10 288
，
10 360
。
思考：同学们观察一下上面的这四个数列：
0
，
5
，
10
，
15
，
20
，< br>……
①
48
，
53
，
58
，
63
②
18
，
15.5
，
13
，
10.5
，8
，
5.5
③
10 072
，
10 144
，
10 216
，
10 288
，
10 360
④
看这些数列有什么共同特点呢？
（由学生讨论、分析）
引导学生观察相邻两项间的关系，得到：
对于数列①，从第
2
项起，每一项与前一项的差都等于
5
；
对于数列②，从第
2
项起，每一项与前一项的差都等于
5
；
对于数列③，从第
2
项起，每一项与前一项的差都等于
-2.5
；
对于数列④，从第
2
项起，每一项与前一项的差都等于
72
；
由学生归纳和概括出，以上四个数列从第
2< br>项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都
具有相邻两项差为同一个常数的特点）
。
[
等差数列的概念
]
对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试 着给等
差数列下个定义：
等差数列：
一般地，如果一 个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个
数列就叫做< br>等差数列
。
这个常数叫做等差数列的
公差，公差通常用字母
d
表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依
次是
5
，
5
，
-2.5
，
72
。
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提问
：如果在
与
中间插入 一个数
A
，使
，
A
，
成等差数列数列，那么
A应满足什么条件？
由学生回答：因为
a
，
A
，
b
组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：
A-a=b-A
所以就有
由三个数
a
，
A
，
b
组成的等差数列可以看成最简 单的等差数列，这时，
A
叫做
a
与
b
的
等差中项< br>。
[
等差数列的通项公式
]
对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。
⑴、
我们是通过研究数列
的第
n
项与序号
n
之间的 关系去写出数列的通项公式的。
下面由同学们根据
通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项 公式。
经过分析写出
通项
公式：
①
这个数列的第一项是
5
，
第
2
项是
10
（
=5+5
）
，
第
3
项是
15
（
= 5+5+5
）
，
第
4
项是
20
（
=5+5 +5+5
）
，
……
由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
②
这个数列的第一项是
48
，第
2
项是
53
（
=48+5
）
，第
3
项是
58
（
=48+5
×
2
）
，第
4
项是
63
（
=48+5
×
3
）
，由此可以猜想得到这个数列的通项公式是< br>
③
这个数列的第一项是
18
，
第
2< br>项是
15.5
（
=18-2.5
）
，
第
3< br>项是
13
（
=18-2.5
×
2
）
，
第
4
项是
10.5
（
=18-2.5
×
3
）
，第
5
项是
8
（
=18-2.5
×
4
）
，第
6
项是
5.5
（
=18-2.5
×
5
）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
④
这个 数列的第一项是
10072
，第
2
项是
10144
（
=10172+72
）
，第
3
项是
10216
（
=10072+72
×
2
）
，
第
4
项是
1 0288
（
=10072+72
×
3
）
，第
5项是
10360
（
=10072+72
×
4
）
，由此可以猜想得到这个数列的通项
公式是
和公差
d
，它的通项公式是什么呢？
⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项
引导学生根据等差数列的定义进行归纳：
（
n-1
）个等式
所以