高中数学新课程创新教学设计案例等差数列
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2021年01月21日 10:45
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45
等差数列
教材分析
等差数列是高中阶段研究的 两种最常见的数列之一．这节内容在一些具体实例的基础上，归纳、抽象、概括
出了等差数列的定义及其 通项公式．
教学重点是等差数例的定义及通项公式的发现过程及有关知识的应用．
教学
难点是理解公式的实质并加以灵活运用．
教学目标
1.
理解等差数列的概念，掌握其通项公式及实质并会熟练应用．
2.
通过对 等差数列概念及通项公式的归纳、
抽象和概括，
体验等差数列概念的形成过程，
培养学 生的抽象、
概括能力．
3.
培养从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想，并锻炼学生归纳、猜想、论证的能力．
任务分析
这节课是在实例的基础上，
采用从特殊到一般，
再从一般 到特殊的思想，
对此，
学生接受起来并不太困难．
对
于等差数列的定义及通项 公式的发现，要完全地放给学生自己讨论，探究，以便于充分调动学生的主观能动性，
使其充分体验到成 功的乐趣．
对于通项公式，
不要只看表面，
更要看到公式的实质———四个量之间的一 个等量
关系，以便于以后运用方程思想灵活解决有关问题．
教学设计
一、问题情景
在现实生活中，经常会遇到下面的特殊数列．
1.
我们经常这样数数，从
0
开始，每隔
5
个数一次，可以得到数列：< br>
，
______________
，
______________
，
______________
，
______________
，…
2.
水库的管理人员为了保证优质 鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼．如果
一个水库的水位为
18 m
，自然放水每天水位降低，最低降至
5m
，那么从开始放水算起，到可以进行清理工 作的那
天，水库每天的水位组成数列（单位：
m
）：
18
，
______________
，
______________
，
______________
，
______________
，．
3.
我国现行储蓄制度规定银行支 付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息．按照
单利计算本利和的公式是：
本利和＝本金×（
1
＋利率×存期）．
例如，按活期存入< br>10000
元钱，年利率是
%
，那么按照单利，
5
年内各年末 的本利和组成的数列是
______________
，
______________
，
______________
，
______________
，
______________
．
问题：上面的数列有什么共同特点
你能用数学语言（符号）描述这些特点吗
二、建立模型
一般地，
如果一个数列从第
2
项起，
每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列就叫作等差数
列，这个常数叫作等差 数列的公差，公差通常用字母
d
表示，即ａ
n
＋
1
－ａn
＝
d
（
n
∈
N
＋
）．
［问
题］
（
1
）如果三个数ａ，
A< br>，ｂ成等差数列，那么
A
叫ａ，ｂ的等差中项．你能用ａ，ｂ表示
A
吗
（
2
）你能猜想出问题情景中的
3
个数列各自的通项公式吗
（
3
）一般地，对于等差数列｛ａ
n
｝，你能用基本量ａ
1
，ｄ来表示其通项吗
解法
1
：归纳：ａ
1
＝ａ< br>1
，ａ
2
＝ａ
1
＋ｄ，ａ
3
＝ａ
1
＋
2
ｄ，…，
ａ
n
＝ａ
1
＋（ ｎ－
1
）
d
．
解法
2
：累加：ａ
2
－ａ
1
＝ｄ，ａ
3
－ａ
2
＝ｄ，…，ａ
n
－ａ
n-1
＝ｄ，各式相加，得ａ
n
－ａ
1
＝ （ｎ－
1
）ｄ，
∴ａ
n
＝ａ
1
＋（ｎ－
1
）ｄ．
［思
考］
（
1
）这个通项公式有何特点是关于
n
的几次式的形式ｄ可以等
0
吗
（
2
）此公式中有几个量
［结
论］
（
1
）等差数列通项公式是关于
n
的一次式的形式，ｎ的系数为ｄ． 当ｄ＝
0
时，该数列为常数列．
（
2
）此公式中有四个量 ，即ａ
n
，ａ
1
，ｎ，ｄ，知道其中任何三个可求另外一个，所以，通项公式 实质是四
个量之间的关系．
三、解释应用
［例
题］
1.
（
1
）求等差数列
8
，5
，
2
，…的第
20
项．
（
2）－
401
是不是等差数列－
5
，－
9
，－
1 3
，…的项如果是，是第几项