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2021年1月21日发(作者：蒙铎)

人教版五年级下册数学《最大公因数和最小公倍数》知识
点及重点题分析

最大公因数

一、基础知识

（
1
）
定义 ：几个数公有的因数中，其中最大的公因数叫做它们的最大公因
数。，

（
2
）求最大公因数的方法

①列举法：

②短除 法：
把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几
个数，一直除到各个商是互质 数为止，（也可以用较大的合数质公因数去
除）然后把左半圈所有除数相乘，所得的积就是这几个数的< br>最大公因数
。

例如：求
36
，
24
，48
的最大公因数。

2 36 24 48
2 18 12 24
3 9 6 12
3 2 4
此时
3
与
2
，
4
都互质，这三个数的公因数只有
1
，停 止短除。（即用
短除法求最大公因数时，要使所有的数最后所得的商没有公因数就可，如
果其中 几个商有公因数，也不再除）。因此，
36
，
24
，
48
的 最大公因数是
2
×
2
×
3
＝
12
。

（
3
）求两个数最大公因数的特殊情况：

①当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数。

②互质的两个数最大公因数是
1
。（如连续的非零自然数、不同的质数等）

（
4
）最大公因数和公因数的关系：

所有的公因数都是这两个数的因数，最大公因数是这些公因数中最大的。

二、求最大公因数在计算中的应用

作用
：最大公因数在计算中的最重要的作 用是约分，即把分数的分子和分
母约成最大公因数为
1
的最简分数。

化最简分数最简捷的方法
：

①短除法求出最大公因数

② 用划线法分别约去分子分母的最大公因数，分别写出分子、分母被最大
公因数除的商。

③练习：

（
1
）填空：

A
α
,b
都是非
0
自然数，如果
a
÷
b=10
，那么α
,b
的最大公因数是（


），最小
公倍数是（



）。

解题分 析：由题可知，α是
b
的倍数，此时两数的最大公因数是其中的较小数
b
，最 小
公倍数是其中的较大数α。

B
甲＝
2
×
3< br>×
5
，乙＝
2
×
3
×
7
，甲和乙的 最大公因数是（

）。

（
2
）化最简分数

18
24
45
36
、
、
、

63
98
75
50
(3)
判断：

18< br>6
18
6
A
比
的分数单位小，所以
比
小。（

）

63
21
63
21
B
分子分母是不同的质数，分子、分母的最大公因数一定是
1.
（

）

C
分子分母分别是不同的合数，分子、分母的最大公因数一定不是
1.
（

）

D
分子分母是两个连续的非零自然数，分 子、分母的最大公因数一定是
1.
（

）

E
两个不同的自然数的最大公因数一定比最小公倍数小．（

）

三、求最大公因数的实际问题

1.
五年级（
2
）班男生有
48
人，女生有
36
人。男、女生分别排队，要使每
排的人数相同， 每排最多有多少人？

解题分析：
由题意得“要使每排的人数相同，每排最多有多少人 ？，就是
求同时能整除五年级（
2
）班男生、女生的非零自然数，即问题“每排最多< br>有多少人”就是求男生、女生的最大公因数。

关键点：
“每排人数相同”意味 着每排人数是
48
和
36
的公因数，“最多”
就是求
48< br>和
36
的最大公因数。

解答过程
2 36 48
3 18 24

2


6




8

3




4
36
、
48
的最大公因数为< br>=2
×
3
×
2=12,36
、
48
的最大公 因数为
12.
答：每排最多有
12
人
.

2< br>.
将
48
本练习本和
64
支铅笔平均分给若干名同学。如果练 习本和铅笔都
没有剩余，
且保证分到铅笔和练习本的人数相同，
最多能分给多少名同学 ？

解题分析
：由题意得“分到铅笔和练习本的人数相同，最多能分给多少名
同学？”，此时铅笔分得的人数和练习本分得的人数分别是
48
和
64
的公< br>因数，要求最多能分给多少同学，就是求
48
和
64
的最大公因数。< br>
关键点
：练习本和铅笔分别单独平均分，“保证分到铅笔和练习本的人数
相同 ”，即分到铅笔和练习本的同学数是
48
和
64
的最大公因数。

解题过程：
2 48 64
4
24 32











2


6




8

3




4 48
、
64
的最大公因数为
=2
×
4
×
2=16,48
、
64
的最大公因数为
16.
答：最多能分得有
16
人
.

3.
用
4 8
朵红花和
36
多黄花做成花束，
两种花都没有剩下。
如果每个花束 的
红花朵数相同，
黄花朵数相同，
每一束最少有几朵花？此时一共能扎几束？


解题分析
：由题意“每个花束的红花朵数相同，黄花朵数相同，每一束最
少 有几朵花”，可知此时花束的数量分别是
48
和
36
的最大公因数。

解答过程：

2 48 36
2
24 18

3


12


9


4



3
48< br>、
36
的最大公因数为
=2
×
2
×
3=12 ,
红花
48
÷
12=4
（朵）
36
÷
1 2=3
（朵）答：每一束最少有
7
朵花，此时一共
能扎几
12
束
.

同步练习

①将一块长
80
米、宽56
米的长方形土地划分成面积相等的小正方形。小
正方形的面积最大是多少平方米？
关键点：
小正方形的面积是
80
、
56
的最大公因数 ，


②
一张长方形木板，长
56
厘米，宽
40< br>厘米，如果把它剪成若干个同样大
的正方形，使边长是整厘米数且没有剩余，最少能剪多少个？< br>
关键点：
小正方形的边长是
40
、
56
的最大公因 数，
求出小正方形的边长后，
还需用长方形的面积除以小整形的面积，才可以求出最少减去小正 方形的
个数。



③有三根木棒，分别长
12
厘 米，
16
厘米，
44
厘米。要把它们截成同样长
的小棒，不能有剩余 ，每根小棒最长是多少厘米？

关键点：小棒长是
12
、
16
、
44
的最大公因数。

最小公倍数

一、基础知识

（一）最小公倍数：

1
、最小公倍数：< br>几个数共有的倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍
数。

2.
求最小公倍数的方法：

①列举②短除法：
把各个数公有的质因 数从小到大依次作为除数，连
续去除这几个数，一直除到各个商是互质数为止，然后把所有除数相乘，< br>再乘以每个数除完以后所得的商，所得的积就是这几个数的
最小公倍数。

例如 ：求
36
，
24
，
48
的最大公因数。

2 36 24 48
2 18 12 24
3 9 6 12
3 2 4
此时
3
与
2互质，
但
2
与
4
还有公因数
2
，
需再 除一次，
直到两两互质
为止，否则三个数的最小公倍数就大了。

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