三角形的内角和(基础)知识讲解
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2021年01月21日 14:22
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三角形的内角和（基础）知识讲解
撰稿：孙景艳
责编：吴婷婷
【学习目标】
1
．理解三角形内角和定理的证明方法；
2
．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；
3
．能够运用三 角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题
.
【要点梳理】
要点一、三角形的内角和
三角形内角和定理：
三角形的内角和为
180
°．
要点诠释：
应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
要点二、三角形的外角
1< br>．定义：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠
ACD< br>是△
ABC
的一个外角
.
要点诠释：
(1)
外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；
②一条边是三角
形的一边；③另一条边
是三角形某条边的延长线．
（
2
）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个< br>顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2
．性质：
（
1
）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（
2
）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点诠 释：
三角形
内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常
使用 的理论依据．另外，在证角的不等关
系时也常想到外角的性质．
3.
三角形的外角和：
三角形的外角和等于
360
°
.
要点诠释：
因为三角形的 每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是
180
°，
可推出三角形的三 个外角和是
360
°．
【典型例题】
类型一、三角形的内角和
1
．证明：三角形的内角和为
180
°
.
【答案与解析】
解：已知：如图，已知△
ABC
，求证：∠
A+
∠
B+
∠
C
＝
180
°
.
证法
1
：
如图
1
所示，
延长
BC
到
E
，
作
CD
∥
AB
．
因为
AB
∥
CD
（已作）
，
所以∠
1=
∠
A
（两
直线平行，内错角 相等）
，∠
B=
∠
2
（两直线平行，同位角相等）
．
又∠
ACB+
∠
1+
∠
2=180
°（平角定义）
，
所以∠
ACB+
∠
A+
∠
B=180
° （等量代换）
．
证法
2
：
如图
2所示，在
BC
边上任取一点
D
，作
DE
∥
AB
，交
AC
于
E
，
DF
∥
AC
，交
AB
于点
F
．
因为
DF
∥
AC
（已作）
，
所以∠
1=
∠
C
（两直线平行，同位角相等）
，
∠
2=
∠
DEC
（两直线平行，内错角相等）
．
因为
DE
∥
AB
（已作）
．
所以∠3=
∠
B
，∠
DEC=
∠
A
（两直线平行，同
位角相等）
．
所以∠
A=
∠
2
（等量代换）
．
又∠< br>1+
∠
2+
∠
3=180
°（平角定义）
，
所以∠
A+
∠
B+
∠
C=180
°（等量代换）< br>．
[
来源
:
.]
证法
3
：
如图
3
所示，过
A
点任作直线
l
1
， 过
B
点作
l
2
∥
l
1
，过
C点作
l
3
∥
l
1
，
因为
l
1
∥
l
3
（已作）
．
所以∠
l=
∠
2
（两直线平行，内错角相等）
．
同理∠
3=
∠
4
．
又
l
1
∥
l
2
（已作）
，
所以∠
5+
∠
1+
∠
6+
∠
4=180
°（两直线平行，同旁内角互补）
．
所以∠
5+
∠
2+
∠
6+
∠
3 =180
°（等量代换）
．
又∠
2+
∠
3=
∠
ACB
，
所以∠
BAC+
∠
ABC+
∠
ACB=180
°（等量代换）
．
[
来源
:www
.]
证法
4
：
如图
4
，将
Δ
ABC
的三个内角剪下，拼成以
C
为 顶点的平角
.
证法
5
：如图
5
－
1< br>和图
5
－
2
，
在图
5
－
1
中作∠
1
＝∠
A
，得
CD
∥
AB
，有∠< br>2
＝∠
B
；在图
5
－
2
中过
A作
MN
∥
BC
有∠
1
＝∠
B
，∠2
＝∠
C
，进而将三个内角拼成平角
.
【总结升华 】
三角形内角和定理的证明方法有很多种，
无论哪种证明方法，
都是应用的平行
线的性质
.
2.
在△
ABC
中，已知∠
A+< br>∠
B
＝
80
°，∠
C
＝
2
∠
B
，试求∠
A
，∠
B
和∠
C
的度数．
【思路点拨】
题中给出两个条件：∠
A+
∠
B
＝
8 0
°，∠
C
＝
2
∠
B
，再根据三角形的内角和等< br>于
180
°，即∠
A+
∠
B+
∠
C
＝
180
°就可以求出∠
A
，∠
B
和∠
C
的度数．
【答案与解析】
解：由∠
A+
∠
B< br>＝
80
°及∠
A+
∠
B+
∠
C
＝< br>180
°，
知∠
C
＝
100
°．