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2021年1月21日发(作者：蓝深)
































才子教育




小学奥数系列

第
2
5
讲

巧解小数与分数互化问题

巧点睛——方法和技巧

有限小数和无限循环小数都是小数。小数与分数可以互化。

巧指导——例题精讲

A
级冲刺名校·基础点睛

【例1
】不做除法，确定下列各数哪些可以化成有限小数，哪些
可以化成纯循环小数，哪些可以 化成混循环小数。化成有限小数的、
小数位数是多少位？化成循环小数的，
不循环部分数字的个 数及循环
部分的循环节是多少个数字？

5
1
4
3
3
7
;(2)
;(3)
; (4)
;(5)
(6)
.
28
64
42
1250
13
220
3
分析与解


(1)
是最简分数
.1250=
2
×
5
4

,
因为分母的质因数分
1250
3
解中含有
2,5
的质因数
,
所以
可以化成有限小数
.
分母的质因数
5
1250
（
1
）
的个数为
4,
比质因数
2
的个数
1
多
,
所以小数位数为
4
位
.
(2)
3
3
是最简分数
.13
本身就是质数
,
它不 含
2,5
的质因数
,
所以
13
13
可以化为纯循环 小数
.
因为
9,99,999
,
…中能被分母
13
整除的最小数是
六位数
999 999,
所以循环节有
6
个数字
.
(3)
5
是最 简分数
.28=
2
2
×
7,
分母既含有
2,5的质因数
,
又含有
28
2,5
以外的质因数
7,
所以这个分数必可化为混循环小数
.
不循环部分
数字的个数等于
2
。因为
9
，
99
，
999
，…中能被整除的最小六位数999999
，所以循环节为
6
个数字。

































才子教育




小学奥数系列

（4
）
7
是最简分数。
220=2
2
×
5
×
11
，这个分数必可化为循环
220
小数，不循环部分数字的个数为2
。因为
9
，
99
，
999
，…中能被
11
整除的最小数为
99
，所以循环节为
2
个数字。
< br>（
5
）
1
是最简分数。
64=2
6
，这个分 数必可化为有限小数，小数
64
位数是
6
位。

（
6
）
4
2
不是最简分数，先约分化为最简分数
。
21=3< br>×
7
，所
64
21
以这个分数必可化成纯循环小数。因为9
，
99
，
999
，…中能被
21
整
除的最小数是
999999
，所以循环节为
6
个数字。


做一做
1
指出下面的分数，哪些能化成有限小数，哪些能化
成纯循环小数 ，
哪些能化成混循环小数，
并分别写出有限小数的位数，
不循环部分数字的个数，循环 节包含几个数字。

（
1
）
11
4
3
5< br>7
；
（
2
）
；
（
3
）
；< br>（
4
）
；
（
5
）
2
。
< br>60
505
32
12
41
【例
2
】写出两个 最大分数，它们的分子都是
1
，并且化成小数以后
分别是：

（
1
）循环节为
4
个数字的纯循环小数；

（2
）不循环部分有两个数字，循环部分的循环节是
3
个数字，是混
循环小 数。

分析


分子是固定的数
1
，要使分数最大，分母必须最小。

（
1
）
为保证小数能化成循环节有
4
个数字的纯循环小数，
其分母
的质因数分解中应该不含
2
，
5
，并且分母能整除
9 999
，但不能整除
































才子教育




小学奥数系列

9
，
99
，
999
。
9 999
的质因数分解为
9 999=3
2
×
11
×
101
。

3，
3
2
都整除
9
，
3
×
11
，
3
2
×
11
都整除
99
，
101
，
3
2
×
101
，
11
×
101
，
3
2
×
11
×
101
都整除
9 99 9
，而最小的一个是
101
，所以，分母
应为
101
。所求 分数为
1
。

101
（
2
）为保证分数能化成混循 环小数，使不循环部分有两个数字，
循环节有
3
个数字，
分母应当是
2
n
×
5
n
×
p
的形式
（这里
n
≥
0
，
m
≥
0
，
p
不含质因数< br>2
，
5
）
。

为了使分母最小，而不循环部分有两个 数字，我们应该取
n=2
，
m=0
。

为了使循环节有3
个数字，
p
应该能整除
999
，但不整除
9
，
99
。

999=3
3
×
27
因为< br>3
，
3
2
能整除
9
，
3
3
，
3
×
37
，
3
3
×
37
都能整 除
999
，其中最小
的一个是
3
3
=27
，所以取
p=27
。

解

因为分子是非曲直，为保证分数最大，应使分母最小。

（
1
）
9 999=3
3
×
11
×
101
，因为分数化为循环节有
4
个数字的纯
循环小数，所以分母为
101
，所求分数为
1
。

101
（
2
）因为分数化为混循环小数，不循环部分数字的个数为
2
，所
以分母为
22
×
p
，
p
不含质因数
2
，
5
。
因为循环节有
3
个数字，
而
999=3
3
×< br>37
，所以
p=3
=27
，所求分数为
=
2
2
×
27
3
1
1
。

108
做一做
2
写出两个最大分数，
它们的分子是
1
，
并且化成小数分
































才子教育




小学奥数系列

别是：

（
1
）循环节有
1
个数字的纯循环小数；

（2
）不循环部分有一个数字，循环节有
2
个数字的混循环小数。


【例
3
】将下列循环小数化成分数。

（
1
）
0.12 3
（
2
）
0. 3 4 7
解

（
1
）设
χ
=0.12 3
（
2
）设
y=0.3 4 7
1 000
χ
=123
＋
0.12 3 10y=3. 4 7
1 000
χ
=123
＋
χ
10y=3
＋
0.47
47

99
123
41< br>344
172
χ
=
=
y=
=

999
333
990
495
999
χ
=123 10y=3
＋
做一做
3
把下面的循环小数化成分数。

（
1
）
0.5 1 8 (2)0.217 30 5 (3)0.31 2 (4)10.29 6

B
级

培优竞赛·更上层楼

【例
4
】在下述循环小数的某个小数位上添上 一个表示循环的小
圆点，使新产生的循环小数尽可能大，请写出这个新的循环小数。

（
1
）
2
．
718 281
（
2
）
2.718 182
分析与解

（1
）
要使新产生的循环小数尽可能大，
必须使小数
2.718
281
…中已出现的数字的后面第一个数字尽可能大，因此这个数字应

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