数列求和公式证明
余年寄山水
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2021年01月22日 02:33
最佳经验
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-亚梦的第五个蛋
1
）
1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n +1)(2n+1)/6
从左边推到右边
数学归纳法可以证
也可以如下做
比较有技巧性
n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+......+n^2
=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由于
n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以
1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1 *2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[
前后消项
]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以
1^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+1)/6]
=n(n+1)(2n+1)/6
2
）
1×
2+2×< br>3+3×
4+...+n×
（
n+1
）
=
？
设
n
为奇数
,
1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=
=(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1)
=2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1)
=8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1)
=8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)/3
设
n
为偶数
,
请你自己证明一下！
所以，
1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
设
an=n×
（
n+1
）
=n^2+n
Sn=1 ×
2+2×
3+3×
4+...+n×
（
n+1
）
=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n)
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3