-要为自己保留几分

2021年1月22日发(作者：美人鱼下载)
平方和公式


n(n+1)(2n+1)/6

平方差公式


a2-b2=(a+b)
乘
(a-b)

【一般行程问题公式】



平均速度
×
时间
=
路程；



路程
÷
时间
=
平均速度；



路程
÷
平均速度
=
时间。



【反向行程问题公式】反向行程问题可以分为
“
相遇问题
”
（二人从两地出发 ，相向而行）和
“
相离问题
”
（两人背向而行）两种。这两种题，都可用下面 的公式解答：



（速度和）
×
相遇（离）时间
=
相遇（离）路程；



相遇（离）路程
÷
（速度和）
=
相遇（离）时间；



相遇（离）路程
÷
相遇（离）时间
=
速度和。



【同向行程问题公式】



追及（拉开）路程
÷
（速度差）
=
追及（拉开）时间；



追及（拉开）路程
÷
追及（拉开）时间
=
速度差；



（速度差）
×
追及（拉开）时间
=
追及（拉开）路程。



【列车过桥问题公式】



（桥长
+
列车长）
÷
速度
=
过桥时间；



（桥长
+
列车长）
÷
过桥时间
=
速度；



速度
×
过桥时间
=
桥、车长度之和。



【行船问题公式】



（
1
）一般公式：



静水速度（船速）
+
水流速度（水速）
=
顺水速度；



船速
-
水速
=
逆水速度；



2=
船速；


（顺水速度
+
逆水速度）
÷

2=
水速。


（顺水速度
-
逆水速度）
÷

（
2
）两船相向航行的公式：



甲船顺水速度
+
乙船逆水速度
=
甲船静水速度
+
乙船静水速度



（
3
）两船同向航行的公式：



后（前）船静水速度
-
前（后）船静水速度
=
两船距离缩小（拉大） 速度。



（求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有关的公式去解答题目）
。


经典题
;
平方和：
1
的平方
+2
的平方
+
……
+10
的平方
=
？








平方差：
2000
的平方
-1998
的平方
=
？














（
199+176
）
X
（
199-176
）
=
（）的平方
-
（）的平方








这个只要记住公式就行

80
道




工程问题

< br>1
．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要
20
小时，
16小时
.
丙水管单独开，排一池
水要
10
小时，若水池没水，同时 打开甲乙两水管，
5
小时后，再打开排水管丙，问水池注满
还是要多少小时？


解：


1/20+1/16
＝
9/80
表示甲乙的工作效率

< br>9/80
×
5
＝
45/80
表示
5
小时后进 水量


1-45/80
＝
35/80
表示还要的进水量


35/80
÷
（
9/80-1/10
）＝
35
表示还要< br>35
小时注满


答：
5
小时后还要
35
小时就能将水池注满。



2
．修一条水渠，单独修，甲队需要
20
天完成，乙队需要
30
天完成。如果两队合作，由于彼
此施工有影响，
他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，
乙队工作效
率只有原来的十分之九。现在计划
16
天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，
那么两队要合作几天？


解：由题意得，甲的工效为
1/20
，乙的工效为
1/30
，甲乙的合作工效为
1/20*4/5+1/30*9/10
＝
7/100
，可知甲乙合作工效
>
甲的工效
>
乙的工效。


又因为，
要求
“
两队合作的天数尽可能少
”
，
所以应该让做 的快的甲多做，
16
天内实在来不及
的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能
“
两队合作的天数尽可能少
”
。


设合作时间为
x
天，则甲独做时间为（
16-x
）天


1/20*
（
16-x
）
+7/100*x
＝
1

x
＝
10

答：甲乙最短合作
10
天



3
．一件 工作，甲、乙合做需
4
小时完成，乙、丙合做需
5
小时完成。现在先请甲、丙 合做
2
小时后，余下的乙还需做
6
小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时 ？


解：


由题意知，
1/4
表示甲 乙合作
1
小时的工作量，
1/5
表示乙丙合作
1
小时的工作 量


2
＝
9/10
表示甲做了
2
小时、 乙做了
4
小时、丙做了
2
小时的工作量。


（< br>1/4+1/5
）
×
根据
“
甲、丙合做
2
小 时后，余下的乙还需做
6
小时完成
”
可知甲做
2
小时、乙做
6
小时、丙做
2
小时一共的工作量为
1
。


所以
1
－
9/10
＝
1/10
表示乙做
6-4
＝
2
小时的工作量。


1/10
÷
2
＝
1/20
表示乙的工作效率。


1
÷
1/20
＝
20
小时表示乙单独完成需要< br>20
小时。


答：乙单独完成需要
20
小时。



4
．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那
么恰好用整数天 完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替
轮流做，那么完工时间要比前 一种多半天。已知乙单独做这项工程需
17
天完成，甲单独做
这项工程要多少天完成？


解：由题意可知


1/
甲
+1/< br>乙
+1/
甲
+1/
乙
+
……
+1/
甲＝
1

1/
乙
+1/
甲
+1/
乙+1/
甲
+
……
+1/
乙
+1/
甲
×
0.5
＝
1

（
1/
甲表示甲的工作效率、1/
乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做
法就不比第一种多
0.5
天）


1/
甲＝
1/
乙
+1/
甲
×
0.5
（因为前面的工作量都相等）


2

得到
1/
甲＝
1/
乙
×
又因为
1/
乙＝
1/17

2
＝
8.5
天


所以
1/
甲＝
2/17
，甲等于
17
÷

5
．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了
1/2
时，徒弟完成了
120
个。当师傅完成了任
务时，徒弟完成了
4/5
这批零件共有多少个？


答案为
300
个


120
÷
2
）＝
300
个


（
4/5
÷
可以这样想：师傅第一次完成了
1/2
，第二次也是
1/2
，两次一共全部完工，那么徒弟第二次
后共完成了
4/5
，可以推算 出第一次完成了
4/5
的一半是
2/5
，刚好是
120
个。



6
．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽
6< br>棵；如果单份给女生栽，平均每人栽
10
棵。
单份给男生栽，平均每人栽几棵？


答案是
15
棵


算式：
1
÷
（
1/6-1/10
）＝
15
棵



7
．一个池上装有
3
根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20
分钟可将满池水放完，丙管
也是出水管，
30
分钟可将满池水放完。 现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙
,
丙两
管用了
18
分钟 放完，
当打开甲管注满水是，
再打开乙管，
而不开丙管，
多少分钟将水放完？


答案
45
分钟。


1
÷
（
1/20+1/30
）＝
12
表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。


1/12*
（
18-12
）＝
1/12*6
＝
1/2
表示乙丙合作将漫池水放 完后，还多放了
6
分钟的水，也就
是甲
18
分钟进的水。


1/2
÷
18
＝
1/36
表示甲每分钟进水


最后就是
1
÷
（
1 /20-1/36
）＝
45
分钟。



8
．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过
规定日期三天 完成，
若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，
恰好如期完成，问规定日期为
几天？< br>

答案为
6
天


解：


由
“
若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙 队单独做，恰好
如期完成，
”
可知：


乙做
3
天的工作量＝甲
2
天的工作量


即：甲乙的工作效率比是
3
：
2

甲、乙分别做全部的的工作时间比是
2
：
3

时间比的差是
1
份


实际时间的差是
3
天


2
＝
6
天，就是甲的时间，也就是规定日期


所 以
3
÷
（
3-2
）
×
方程方法：


[1/x+1/
（
x+2
）
]
×
2+1 /
（
x+2
）
×
（
x-2
）＝
1

解得
x
＝
6


9
．两根同 样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要
2
小时，而点完一根细蜡烛要
1
小时，一天晚 上停
电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，
发现
粗蜡烛的长是细蜡烛的
2
倍，问：停电多少分钟？


答案为
40
分钟。


解：设停电了
x
分钟


根据题意列方程


1-1/120*x
＝（
1-1/60*x
）
*2

解得
x
＝
40



二．鸡兔同笼问题


1
．鸡与兔共
100
只,
鸡的腿数比兔的腿数少
28
条
,
问鸡与兔各有几只
?

解：


4*100
＝
400
，
400-0
＝
400 假设都是兔子，一共有
400
只兔子的脚，那么鸡的脚为
0
只，鸡
的脚比兔子的脚少
400
只。


400-28
＝
372
实际鸡的脚数比兔子的脚数只少
28
只，相差
372
只，这是为什么？


4+2
＝
6
这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少< br>4
只（从
400
只变为
396
只）
，鸡的总脚数就会 增加
2
只（从
0
只到
2
只）
，它们的相差数就会少
4+2
＝
6
只（也就是
原来的相差数是
400-0
＝
400
，现在的相差数为
396-2
＝
394
，相差数少 了
400-394
＝
6
）


372
÷
6
＝
62
表示鸡的只数，也就是说因为假设中的
100
只兔子中有
62
只改为了鸡，所以脚
的相差数从
40 0
改为
28
，一共改了
372
只


100-62
＝
38
表示兔的只数






三．数字数位问题


1
．把
1至
2005
这
2005
个自然数依次写下来得到一个多位数
12 3456789.....2005,
这个多位数
除以
9
余数是多少
?

解：


首先研究能被
9
整除的数的特点： 如果各个数位上的数字之和能被
9
整除，那么这个数也能
被
9
整除； 如果各个位数字之和不能被
9
整除，那么得的余数就是这个数除以
9
得的余数 。


解题：
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
；
45
能被
9
整除


依次类推：
1~1999< br>这些数的个位上的数字之和可以被
9
整除


10~19，
20~29
……
90~99
这些数中十位上的数字都出现了
1 0
次，那么十位上的数字之和就
是
10+20+30+
……
+90= 450
它有能被
9
整除


同样的道理，
100~900
百位上的数字之和为
4500
同样被
9
整除


也就是说
1~999
这 些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被
9
整除；


同样的道理：
1000~1999
这些连续的自然数中百位、十位、个位
< br>上的数字之和可以被
9
整
除（这里千位上的
“
1
”< br>还没考虑，同时这里我们少
2

从
1000~1999
千位 上一共
999
个
“
1
”
的和是
999
，也 能整除；


2
的各位数字之和是
27
，也刚好整除。


最后答案为余数为
0
。



2
．
A
和
B
是小于
100
的两个非零的不同自然数。求
A+B
分之
A-B
的最小值
...

解：


(A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B)

前面的

1
不会变了，只需求后面的最小值，此时

(A-B)/(A+B)
最大。


对于

B / (A+B)
取最小时，
(A+B)/B
取最大，


问题转化为求

(A+B)/B
的最大值。


(A+B)/B = 1 + A/B
，最大的可能性是

A/B = 99/1

(A+B)/B = 100

(A-B)/(A+B)
的最大值是：

98 / 100


3
．已知
A.B.C
都是非
0
自然数
,A/2 + B/4 + C/16
的近似值市
6.4,
那么它的准确值是多少
?

答案为
6.375
或
6.4375

因为
A/2 + B/4 + C/16
＝
8A+4B+C/16
≈
6.4
，


所以
8A+4B+C
≈
102.4
，由于
A
、B
、
C
为非
0
自然数，因此
8A+4B+C
为 一个整数，可能是
102
，也有可能是
103
。


当是
102
时，
102/16
＝
6.375

当是
103
时，
103/16
＝
6.4375


4
．一个三位数的各位数字

之和是
17.
其中 十位数字比个位数字大
1.
如果把这个三位数的百
位数字与个位数字对调
,< br>得到一个新的三位数
,
则新的三位数比原三位数大
198,
求原数.

答案为
476

解：设原数个位为
a
，则十位为
a+1
，百位为
16-2a

根据题意列方程
100a+10a+16-2a
－
100
（
16-2a
）
-10a-a
＝
198

解得
a
＝
6
，则
a+1
＝
7 16-2a
＝
4

答：原数为
476
。



5
．一个两位数
,
在它的前面写上
3,
所组成的三位数比原两位数的
7
倍多
24,
求原来的两位数
.

答案为
24

解：设该两位数为
a
，则该三位数为
300+a

7a+24
＝
300+a

a
＝
24

答：该两位数为
24
。



6
．把一个 两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数
,
它与原数相加
,
和恰好是 某自
然数的平方
,
这个和是多少
?

答案为
121

解：设原两位数为
10a+b
，则新两位数为
10b+a

它们的和就是
10a+b+10b+a
＝
11
（
a+b
）


因为这个和是一个平方数，可以确定
a+b
＝
11

11
＝
121

因此这个和就是
11
×
答：它们的和为
121
。



7
．一个六位数的末位数字是
2,
如果把
2< br>移到首位
,
原数就是新数的
3
倍
,
求原数
.

答案为
85714

解：设原六位数为
abcde2< br>，则新六位数为
2abcde
（字母上无法加横线，请将整个看成一个
六位数）


再设
abcde
（五位数）为
x
，则原六位数 就是
10x+2
，新六位数就是
200000+x

3
＝
10x+2

根据题意得，
（
200000 +x
）
×
解得
x
＝
85714

所以原数就是
857142

答：原数为
857142


8
．有一个四位数
,
个位数字与百位数字的和是
12,< br>十位数字与千位数字的和是
9,
如果个位数
字与百位数字互换
,
千位数字与十位数字互换
,
新数就比原数增加
2376,
求原数
.

答案为
3963

解：设原四位数为
abcd
，则新数为
cdab
，且
d+b
＝
12
，
a+c< br>＝
9

根据
“
新数就比原数增加
2376
”
可知
abcd+2376=cdab,
列竖式便于观察


abcd

2376

cdab

根据d+b
＝
12
，可知
d
、
b
可能是
3
、
9
；
4
、
8
；
5
、
7
；
6
、
6
。


再观察竖式中的个位，便 可以知道只有当
d
＝
3
，
b
＝
9
；或d
＝
8
，
b
＝
4
时成立。


先取
d
＝
3
，
b
＝
9
代入竖式的 百位，可以确定十位上有进位。


根据
a+c
＝
9
，可知
a
、
c
可能是
1
、
8
；
2
、
7
；
3
、
6
；
4
、
5
。


再观察竖式中的十位，便可知只有当
c
＝
6
，
a
＝
3
时成立。


再代入竖式的千位，成立。


得到：
abcd
＝
3963

再取
d
＝
8
，
b
＝
4
代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数 ，所以不成立。



9
．有一个两位数
,
如果用 它去除以个位数字
,
商为
9
余数为
6,
如果用这个两位数除 以个位数字
与十位数字之和
,
则商为
5
余数为
3,
求这个两位数
.

解：设这个两位数为
ab

10a+b
＝
9b+6

-要为自己保留几分

-要为自己保留几分

-要为自己保留几分

-要为自己保留几分

-要为自己保留几分

-要为自己保留几分

-要为自己保留几分

-要为自己保留几分