-雪豆丁

2021年1月22日发(作者：乔映霞)
小学数学总复习资料

常用的数量关系式

1
、每份数×份数＝总数

总数÷每份数＝份数

总数÷份数＝每份数

2
、
1
倍数×倍数＝几倍数

几倍数÷1
倍数＝倍数

几倍数÷倍数＝
1
倍数

3
、速度×时间＝路程

路程÷速度＝时间

路程÷时间＝速度

4
、单价×数量＝总价

总价÷单价＝数量

总价÷数量＝单价

5
、工作效率×工作时间＝工作总量

工作总量÷工作效率＝工作时间

总量÷工作时间＝工作效率

6
、加数＋加数＝和

和－一个加数＝另一个加数

7
、被减数－减数＝差

被减数－差＝减数

差＋减数＝被减数

8
、因数×因数＝积

积÷一个因数＝另一个因数

9
、被除数÷除数＝商

被除数÷商＝除数

商×除数＝被除数




小学数学图形计算公式

1
、正方形

（
C
：周长
S
：面积
a
：边长

）

周长＝边长×4 C=4a

面积
=
边长×边长

S=a×a

2
、正方体

（
V:
体积
a:
棱长

）

表面积
=
棱长×棱长×6
S
表=a×a×6

体积
=
棱长×棱长×棱长

V=a×a×a

3
、长方形（
C
：周长
S
：面积
a
：边长

）

周长
=(
长
+
宽)×2 C=2(a+b)

面积
=
长×宽
S=ab
4
、长方体

（
V:
体积
s:
面积
a:
长
b:
宽
h:
高）

(1)
表面积
(
长×宽
+
长×高
+
宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)

(2)
体积
=
长×宽×高
V=abh
工作
5
、三角形

（
s
：面积
a
：底
h
：高）

面积
=
底×高÷2 s=ah÷2

三角形高
=
面积

×2÷底

三角形底
=
面积

×2÷高

6
、平行四边形

（
s
：面积
a
：底
h
：高）

面积
=
底×高
s=ah
7
、梯形

（
s
：面积
a
：上底
b
：下底
h
：高）

面积
=(
上底
+
下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2


8
、圆形

（
S
：面积
C
：周长

л
d=
直径
r=
半径）

(1)
周长
=直径×
л
=2×
л
×半径
C=
л
d=2
л
r
(2)
面积
=
半径×半径×
л

9
、圆柱体

（
v:
体积
h:
高
s
：底面积
r:
底面半径
c:
底面周长）

(1)
侧面积
=
底面周长×高
=ch(2
л
r
或
л
d) (2)
表面积
=
侧面积
+
底面积×2

(3)
体积
=
底面积×高

（
4
）体积＝侧面积÷2×半径

10
、圆锥体

（
v:
体积
h:
高
s
：底面积
r:
底面半径）

体积
=
底面积×高÷3

11
、总数÷总份数＝平均数

12
、和差问题的公式

(
和＋差)÷2＝大数
(
和－差)÷2＝小数

13
、和倍问题

和÷(倍数－
1)
＝小数

小数×倍数＝大数
(
或者

和－小数＝大数
)
14
、差倍问题

差÷(倍数－
1)
＝小数

小数×倍数＝大数
(
或

小数＋差＝大数
)
15
、相遇问题

相遇路程＝速度和×相遇时间

相遇时间＝相遇路程÷速度和

速度和＝相遇路程÷相遇时间

16
、浓度问题

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量

溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度

溶液的重量×浓度＝溶质的重量

溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

17
、利润与折扣问题

利润＝售出价－成本

利润率＝利润÷成本×100%＝
(
售出价÷成本－1)×100%

涨跌金额＝本金×涨跌百分比

利息＝本金×利率×时间

税后利息＝本金×利率×时间×(1－
20%)























常用单位换算



长度单位换算


1
千米
=1000
米

1
米
=10
分米


1
分米
=10
厘米

1
米
=100
厘米



1
厘米
=10
毫米


面积单位换算


1
平方千米
=100
公顷



1
公顷
=10000
平方米



1
平方米
=100
平方分米


1
平方分米
=100
平方厘米



1
平方厘米
=100
平方毫米




体
(
容
)
积单位换算


1
立方米
=1000
立方分米




1
立方分米
=1000
立方厘米




1
立方分米
=1
升


1
立方厘米
=1
毫升




1
立方米
=1000
升


重量单位换算


1
吨
=1000
千克



1
千克
=1000
克



1
千克
=1
公斤


人民币单位换算


1
元
=10
角



1
角
=10
分


1
元
=100
分




时间单位换算


1
世纪
=100
年


1
年
=12
月


大月
(31
天
)
有
:135781012
月


小月
(30
天
)
的
有
:46911
月


平年
2
月
28
天
,
闰年
2
月
29
天


平年全年
365
天
,
闰年全年
366
天


1
日
=24
小时


1
时
=60
分



1
分
=60
秒



1
时
=3600
秒



基本概念

第一章

数和数的运算


一


概念


（一）整数


1
整数的意义



自然数和
0
都是整数。



2
自然数



我们在数物体的时候，用来表示物体个数的
1
，
2
，
3
……叫做自然数。



一个物体也没有，用
0
表示。
0
也是自然数。



3
计数单位



一（个）
、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。



每相邻两个计数单位之间的进率都是
10
。这样的计数法叫做十进制计数法。



4
数位



计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。



5
数的整除


整数
a
除以整数
b(b
≠

0
）
，除得的商是整数而没有余数，我们就说
a
能被
b
整除，或
者说
b
能整除
a
。



如果数
a
能被数
b
（
b
≠

0
）
整除，
a
就叫做
b
的倍 数，
b
就叫做
a
的约数
（或
a
的因数）
。
倍数和约数是相互依存的。


因为
35
能被
7< br>整除，所以
35
是
7
的倍数，
7
是
35的约数。



一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是
1
，最大的

约数 是它本身。例如：
10
的约数有
1
、
2
、
5
、
10
，其中最小的约数是
1
，最大的约数是
10
。

一个数的倍数的个数是无限的，
其中最小的倍数是它本身。
3
的倍数有：
3
、
6
、
9
、
12
……其中最小的倍数是
3
，没有最大的倍数。


个位上是
0
、
2
、
4
、
6
、
8
的数，都 能被
2
整除，例如：
202
、
480
、
304，都能被
2
整除。
。



个位上是
0
或
5
的数，都能被
5
整除，例如：
5
、
30
、
405
都能被
5
整除。
。



一个数的各位上的数的和能被
3
整除，这个数就能被
3
整 除，例如：
12
、
108
、
204
都能
被
3
整除。


一个数各位数上的和能被
9
整除，这个数就能被
9
整除。


能被
3
整除的数不一定能被
9
整除，但是能被
9
整除的数一定能被
3
整除。


一个数的末两位数能被4
（或
25
）
整除，
这个数就能被
4
（或25
）
整除。
例如：
16
、
404
、
1256
都能被
4
整除，
50
、
325
、
500
、
1675
都能被
25
整除。


一个数的末三位数能被
8
（或
125
）整除，这个数就能被
8
（或
125
）整除。例如：
1168
、
4600
、
5000
、
12344
都能被
8
整除，
1125
、
13375
、
5000
都能被
125
整除。



能被
2
整除的数叫做偶数。



不能被
2
整除的数叫做奇数。



0
也是偶数。自然数按能否被
2
整除的特征可分为奇数和偶数。


一个数，如果只有
1
和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），
100
以内的质数
有：
2
、
3
、
5
、
7
、
11
、
13
、
17
、19
、
23
、
29
、
31
、
37、
41
、
43
、
47
、
53
、
59
、
61
、
67
、
71
、
73
、
79
、
83
、
89
、
97
。



一个数，如果除了
1
和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如
4
、
6
、
8
、
9
、
12
都是 合数。


1
不是质数也不是合数，自然数除了
1
外，不是 质数就是合数。如果把自然数按其约数
的个数的不同分类，可分为质数、合数和
1
。< br>


每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的 因数，叫做这
个合数的质因数，例如
15=3
×
5
，
3和
5
叫做
15
的质因数。



把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。


例如把
28
分解质因数


几个数公有的约数，叫做这几个 数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公
约数，例如
12
的约数有
1
、
2
、
3
、
4
、
6
、
12
；
18
的约数有
1
、
2
、
3
、
6
、
9
、
18
。其中，
1
、
2
、
3
、
6
是
12
和
1 8
的公约数，
6
是它们的最大公约数。


公约数只有1
的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：


1
和任何自然数互质。


相邻的两个自然数互质。


两个不同的质数互质。


当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。


两个合数的公约数 只有
1
时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这
几个数两两互质。


如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。



如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是
1
。



几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最 小公
倍数，如
2
的倍数有
2
、
4
、
6 < br>、
8
、
10
、
12
、
14
、
16
、
18
……


3
的倍数有
3< br>、
6
、
9
、
12
、
15
、
18
……

其中
6
、
12
、
18
……是
2
、
3
的公倍数，
6
是它
们的最小公倍数 。
。



如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。



几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。


（二）小数


1
小数的意义


< br>把整数
1
平均分成
10
份、
100
份、
10 00
份……

得到的十分之几、
百分之几、
千分之几……

可以用小数表示。



一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……



一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左
边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。



在小数里，
每相邻两个计数单位之间的进率都是
10
。
小 数部分的最高分数单位
“十分之
一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是
10
。



2
小数的分类



纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：

0.25
、

0.368
都是纯小数。



带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。

例如：

3.25
、

5.26
都是带小数。


有限小数：
小数部分的数位是有限的小数，
叫做有限小数。

例如：

41.7
、

25.3
、

0.23
都是有限小数。


无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。

例如：

4.33
……

3.1415926
……


无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无
限不循环 小数。

例如：
π


循环小数：一个数的小数部分，有一 个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫
做循环小数。

例如：

3.555
……

0.0333
……

12.109109
……



一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。

例
如：

3.99
……的循环节是“

9
”

，

0.5454
……的循环节是“

54
”

。



纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。

例如：

3.111
……

0.5656
……



混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。

3.1222
……

0.03333
……


写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节
的首、末 位数字上各点一个圆点。如果循环

节只有

一个数字，就只在它的上面点一个
点。例如：

3.777
……

简写作


0.5302302
……

简写作


。


（三）分数


1
分数的意义



把单位“
1
”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。



在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“< br>1
”平
均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。



把单位“
1
”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。



2
分数的分类



真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于
1
。



假分数：
分子比分母大或者分子和分母相等的分数，
叫做假分数。
假分数大于或等于
1
。



带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。



3
约分和通分



把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数

，叫做约分。



分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。



把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。



（四）百分数


1
表示一个数是另一个数的百分之几的数

叫做百分数
,
也叫做百分率

或百分比。
百分数
通 常用

来表示。百分号是表示百分数的符号。




二


方法


（一）数的读法和写法




1.
整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、 万级时，先按照个级的读法去
读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的
0
都不读出来，其它数位连续有
几个
0
都只读一个零。




2.
整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有， 就在那
个数位上写
0
。



3.
小数 的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”
，小数
部分从左向右顺 次读出每一位数位上的数字。



4.
小数的写法：
写 小数的时候，
整数部分按照整数的写法来写，
小数点写在个位右下角，
小数部分顺次写 出每一个数位上的数字。

5.
分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后 读分子，分子和分母按照整数的
读法来读。



6.
分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。



7.
百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照 整数的
读法来读。



8.
百分数的写法：百分数通常 不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“
%
”
来表示。



（二）数的改写



一个较大的多位数，为了读写方便 ，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有
时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写 成近似数。



1.
准确数：
在实际生活中，
为了计数的简便，
可以把一个较大的数改写成以万或亿为单
位的数。改写后的数是原数的准确数 。

例如把

1254300000
改写成以万做单位的数是

125430
万；改写成

以亿做单位

的数

12.543
亿。



2.
近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位 后面的尾数，用一
个近似数来表示。

例如：

1302490015
省略亿后面的尾数是

13
亿。



3.
四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是
4
或者比
4
小，就把尾数去掉；如果
尾数的最高位上的数是
5
或者比
5
大，就把尾数舍去，并向它的前一位进
1
。例如：省
略

345900
万后面的尾数约是

35
万。省略

4725097420
亿后面的尾数约是

47
亿。



4.
大小比较



1.
比较整数大小：
比较整数的大小，
位数多的那个数就大，
如果位数相同，
就 看最高位，
最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个
数就大。



2.
比较小数的大小：先看它们的整数部分，< br>，整数部分大的那个数就大；整数部分相同
的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相 同的，百分位上的数大的那个数
就大……



3.
比较 分数的大小
:
分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的
分数大 。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。



（三）数的互化



1.
小数化成分数：
原来 有几位小数，
就在
1
的后面写几个零作分母，
把原来的小数去掉
小数 点作分子，能约分的要约分。



2.
分数化成小数：用分母去 除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化
成有限小数的，一般保留三位小数。



3.
一个最简分数，
如果分母中除了
2
和< br>5
以外，
不含有其他的质因数，
这个分数就能化
成有限小数；如果分母 中含有
2
和
5
以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。



4.
小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。



5.
百分数化成小数：
把百分数化成小数，
只要把百分号去掉，
同 时把小数点向左移动两
位。



6.
分数化成百分数： 通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数
)
，再把小
数化成百分数。


7.
百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。



（四）数的整除



1.
把一个合数分解质因数，通常用短除法。
先用能整除这个合数的质数去除，
一直除到
商是质数为止，再把除 数和商写成连乘的形式。



2.
求几个数的最大公约数的方法 是：
先用这几个数的公约数连续去除，
一直除到所得的
商只有公约数
1
为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约
数

。



3.
求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几 个数（或其中的部分数）的公约数去除，
一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘 求积，这个积就是这几
个数的最小公倍数。



4.
成为互质关系的两个数：
1
和任何自然数互质

；

相邻的两个自然数互质；


当合数
不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；

两个合数的公约数只有
1
时，这两个
合数互质。



（五）

约分和通分



约分的方法 ：用分子和分母的公约数（
1
除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简
分数为止。



通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数 化成用这个最小
公倍数作分母的分数。


三


性质和规律


（一）商不变的规律



商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。



（二）小数的性质



小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。



（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化


1.
小数点向右 移动一位，原来的数就扩大
10
倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩
大
1 00
倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大
1000
倍……



2.
小数点向左移动一位，原来的数就缩小
10
倍；小数点向左 移动两位，原来的数就缩
小
100
倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小
1000
倍……



3.
小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“
0
补足位。






（四）分数的基本性质




分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外）
，分数的大 小
不变。



（五）分数与除法的关系


1.
被除数÷除数
=

被除数
/
除数



2.
因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。



3.
被除数

相当于分子，除数相当于分母。




四


运算的意义


（一）整数四则运算


1
整数加法：

把两个数合并成一个数的运算叫做加法。



在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。



加数
+
加数
=
和



一个加数
=
和－另一个加数



2
整数减法：

已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。



在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是
总数，减 数和差分别是部分数。



加法和减法互为逆运算。



3
整数乘法：

求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。



在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。




在乘法里，
0
和任何数相乘都得
0.


1
和任何数相乘都的任何数。



一个因数×

一个因数

=
积






一个因数
=
积÷另一个因数



4

整数除法：

已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。



在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。



乘法和除法互为逆运算。



在除法里，
0< br>不能做除数。因为
0
和任何数相乘都得
0
，所以任何一个数除以
0
，均得不
到一个确定的商。



被除数÷除数
=
商


除数
=
被除数÷商


被除数
=
商×除数



（二）小数四则运算


1.
小数加法：

小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。



2.
小数减法：

小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知 两个加数的和与其中的一个加数，求另一
个加数的运算
.


3.
小数乘法：

小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便 运算；一个数
乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。



4.
小数除法：

小数除法的意义与整数除法的意义 相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另
一个因数的运算。



5.
乘方
:

求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如

3
×

3 =32


（三）分数四则运算



1.
分数加法：

分数加法的意义与整数加法的意义相同。

是把两个数合并成一个数的运算。



2.
分数减法：

分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个 加数，求另一
个加数的运算。



3.
分数乘法：

分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。



4.
乘积是
1
的两个数叫做互为倒数。



5.
分数除法：

分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是 已知两个因数的积与其中一个因数，求另
一个因数的运算。



（四）运算定律



1.
加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即
a+b=b+a
。



2.
加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加 ，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一
个数相加它们的和不变，即（
a+b)+ c=a+(b+c)
。



3.
乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即
a
×
b=b
×
a
。



4.
乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数 相乘，再和第一
个数相乘，它们的积不变，即
(a
×
b)
×
c=a
×
(b
×
c)
。

5.
乘法分配律：

两个数的和与一个数相乘，
可以把两个加数分别与这个数相乘 再把两个积相加，
即
(a+b)
×
c=a
×
c+b
×
c
。



6.
减法的性质：
< br>从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即
a-b-c=a-( b+c)
。

（五）运算法则



1.
整数加法计算法则：

相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。



2.
整数减法计算法则：

相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够 减，就从它的前一位退一作十，和本位
上的数合并在一起，再减。



3.
整数乘法计算法则：

先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数 各个数位上的数，
用因数哪一位上的数
去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的 数加起来。



4.
整数除法计算法则：

先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；

如果不够除，就多看
一位，
除到被除数的哪一位，
商就写在哪一位的上面。
如果哪一位上不够商< br>1
，
要补
“
0
”
占位。每次除得的余数要小于除数。



5.
小数乘法法则：

先按照整数乘法的 计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几
位，点上小数点；如果位数不够，就 用“
0
”补足。





6.
除数是整数的小数除法计算法则：

先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除 数的小数点对齐；如果除到被除数的
末尾仍有余数，就在余数后面添“
0
”
， 再继续除。



7.
除数是小数的除法计算法则：
< br>先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补
“
0
”
）
，然后按照除数是整数的除法法则进行计算。




8.
同分母分数加减法计算方法
:
同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。



9.
异分母分数加减法计算方法
:
先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。



10.
带分数加减法的计算方法
:
整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。



11.
分数乘法的计算法则
:
分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积 作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相
乘的积作分子，分母相乘的积作分母。



12.
分数除法的计算法则
:
甲数除以乙数（
0
除外）
，等于甲数乘乙数的倒数。



（六）

运算顺序



1.
小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。



2.
分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。



3.
没有括号的混合运算
:
同级运算从左往右依次运算；两级运算

先算乘、除法，后算加减法。



4.
有括号的混合运算
:
先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。



5.
第一级运算：

加法和减法叫做第一级运算。



6.
第二级运算：

乘法和除法叫做第二级运算。



五


应用


（一）整数和小数的应用


1
简单应用题



（
1
）

简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一 步运算解答的应用题，通常叫做
简单应用题。



（
2
）

解题步骤：



a
审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添
字边读边思 考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。



b
选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求什么着
手，逐 步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进
行解答并标明正确的单位 名称。



C
检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列 算式和计算过程是否正确，是否
符合题意。如果发现错误，马上改正。


2
复合应用题



（
1
）有两个或两个以上的基本 数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，
通常叫做复合应用题。



（
2
）含有三个已知条件的两步计算的应用题。



求比两个数的和多（少）几个数的应用题。



比较两数差与倍数关系的应用题。



（
3
）含有两个已知条件的两步计算的应用题。



已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差）
。



已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）
。



（
4
）解答连乘连除应用题。



（
5
）解答三步计算的应用题。



（
6
）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的
数量关系、 结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含
有小数。

d
答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。



( 3 )
解答加法应用题：



a
求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。



b
求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。



(4 )

解答减法应用题：



a
求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。





-b
求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙 数多多少，或
乙数比甲数少多少。



c
求比一个数少几 的数的应用题：
已知甲数是多少，
，
乙数比甲数少多少，
求乙数是多少。


(5 )
解答乘法应用题：



a
求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。



b
求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另 一
个数是多少。



( 6)
解答除法应用题：



a
把一个数平均分成几份，求每一 份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成
几份的，求每一份是多少。



b
求一个数里包含几个另一个数的应用题：
已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。



C
求一个数是另一个数的的几倍的应 用题：
已知甲数乙数各是多少，
求较大数是较小数
的几倍。



d
已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。



（
7
）常见的数量关系：



总价
=
单价×数量



路程
=
速度×时间



工作总量
=
工作时间×工效



总产量
=
单产量×数量





3
典型应用题



具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。



（
1
）平均数问题：平均数是等分除法的发展。



解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。



算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量
关系式：数量之 和÷数量的个数
=
算术平均数。



加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。



数量关系式

（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）
=
加权平均数。





差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求 的是标准数与
各数相差之和的平均数。



数量关系式：
（大数－小数）
÷
2=
小数应得数




最大数与各数之差的和÷总份数
=
最大
数应给数






最大数与个数之差的和÷总份数
=
最小数应得数。



例：一辆汽车以每小时

100
千米

的速度从甲地开往乙地，又以每小时

60
千米的速度
从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。



分析：
求汽车的平均速度同样可以利用公式。
此题可以把甲地到乙地的路程设为
“
1
”
，
则汽车行驶的总路程为“

2
”
，从甲地到乙地的速度为

100
，所用的时间为


，汽车
从乙地到甲地速度为

60
千米

，所用的时间是


，汽车共行的时间为


+

=

,
汽车
的平均速度为

2
÷


=75
（千米）



（
2
）

归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一 种量也随之而改变，
其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。



根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。



根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一
问题。



一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。
”



两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。
”



正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。



反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。



解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量）
，然后以它为
标准，根据题目的要求算出结果。

数量关系式：单一量×份数
=
总数量（正归一）





总数量÷单一量
=
份数（反归一）



例

一个织布工人，在七月份织布

4774
米

，

照这样计算，织布

6930
米

，需要多少
天？



分析：
必须先求出平均每天织布多少米，
就是单一量。

693 0
÷
（

477 4
÷

31
）

=45
（天）



（
3
）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单
位数量的个数 ）
，通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）
。


特点：
两种相关联的量，
其中一种量变化，
另一种量也跟着变化，
不过变 化的规律相反，
和反比例算法彼此相通。



数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量

=
另一个单位数量








单位
数量×单位个数÷另一个单位数量
=
另一个单位数量。



例

修一条水渠，原计划每天修

800
米

，

6
天修完。实际

4
天修完，每天修了多少
米？



分析：因为要求出每天修 的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做
“归总问题”
。不同之处是“归一 ”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，
再求单一量。

80 0
×

6
÷

4=1200
（米）




（
4
）

和差问题：已知大小两个 数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题
叫做和差问题。



解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和）
，然后再求另
一个数。



解题规律：
（和＋差）÷
2 =
大数



大数－差
=
小数



（和－差）÷
2=
小数







和－小数
=
大数



例

某加工厂甲班和乙班共有工人

94
人，
因工作需要临时从乙班调

46
人到甲班工作，
这时乙班比甲班人数少

12
人，求原来甲班和乙班各有多少人？



分析：
从乙班调

46
人到甲班，
对于总数没有变化，
现在把乙数转化成

2
个乙班，
即

9
4
－

12
，由此得到现在的乙班是（

9 4
－

12
）÷

2=41
（人）
，乙班在调出

46
人
之前应该为

41+46=87
（人）
，甲班为

9 4
－

87=7
（人）




（
5
）
和倍问题：
已知两个数的和及它们之间的倍数

关系，
求两个数各是多少的应用题，
叫做和倍问题。



解题关键：找准标准数（即
1
倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为
标准数。
求出倍数和之后，
再求出标准的数量是多少。
根据另一个数
（也可能是几个数）
与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。



解题规律：和÷倍数和
=
标准数



标准数×倍数
=
另一个数



例
:
汽车运输场有大小货车

115
辆，大货车比小货车的

5
倍多

7
辆，运输场有大货车
和小汽车各有多少辆？



分析：大货车比小货车的

5
倍还多

7
辆，这

7
辆也在总数

115
辆内，为了使总数与
（

5+1
）倍对应，总车辆数应（

115-7
）辆

。



列式为（

115-7
）÷（

5+1
）

=18
（辆）
，

18
×

5+7=97
（辆）



（
6
）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。< br>


解题规律：两个数的差÷（倍数－
1
）
=
标准数


标准数×倍数
=
另一个数。



例

甲乙两根绳子，甲绳长

63
米

，乙绳长

29
米

，两根绳剪去同样的长度，结果甲
所剩的长度是乙绳

长的

3
倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？

各减去多少米？



分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的

3
倍，实比
乙绳多
（

3-1
）
倍，
以乙绳的长度为标准数。
列式
（

63-29
）
÷
（

3-1
）

=17
（米）
…
乙绳剩下的长度，

17
×

3=51
（米）…甲绳剩下的长度，

29-17=12
（米）…剪去的
长度。



（
7
）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程
问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、
路程、
方向、杜速度和、速度差等概念，
了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。



解题关键及规律：



同时同地相背而行：路程
=
速度和×时间。



同时相向而行：相遇时间
=
速度和×时间



同 时同向而行（速度慢的在前，快的在后）
：追及时间
=
路程速度差。

同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）
：路程
=
速度差×时间。


例

甲在乙的后面

28
千米

，
两人同时同向而行，
甲每小时行

16
千米

，
乙每小时行

9
千米

，甲几小时追上乙？



分析：甲每小时比乙多行（

16-9
）千米，也就是甲每小时可以追近乙（

16-9
）千米，
这是速度差。



已知甲在乙的后面

28
千米

（追击路程）
，

28
千米

里包含着几个（

16-9
）千米，
也就是追击所需要的时间。列式

2 8
÷

（

16-9
）

=4
（小时）



（
8
）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是 行程问题中比较特殊的
一种类型，
它也是一种和差问题。
它的特点主要是考虑水速在逆 行和顺行中的不同作用。



船速：船在静水中航行的速度。



水速：水流动的速度。



顺水速度：船顺流航行的速度。



逆水速度：船逆流航行的速度。



顺速
=
船速＋水速



逆速
=
船速－水速



解题关键：因为顺流速度 是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问
题当作和差问题解答。

解题时要以水流为线索。



解题规律：船行速度
=
（顺水速度
+
逆流速度）÷
2

流水速度
=
（顺流速度逆流速度）÷
2

路程
=
顺流速度×

顺流航行所需时间



路程
=
逆流速度×逆流航行所需时间



例

一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行

28
千米

，到乙地后，又逆水

航行，
回到甲地。逆水比顺水多行

2
小时，已知水速每小时

4
千米。求甲乙两地相距多少千
米？



分析：此题必须先 知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。
已知顺水速度和水流
速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用
的时间不知道，只知道顺水比逆水少 用

2
小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从
甲地到乙地的所用的时间 ，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为

284
×

2=20
（千
米）

2 0
×

2 =40
（千米）

40
÷（

4
×

2
）

=5
（小时）

28
×

5=140
（千米）
。




（
9
）

还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算 后所得的结果，求这个未知数的
应用题，我们叫做还原问题。



解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。



解题规律：从最后结果

出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出
原数。



根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。

-雪豆丁

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