染色问题
别妄想泡我
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2021年01月22日 15:26
最佳经验
本文由作者推荐
-大学生寒假实践报告
什么是染色问题
这里的染色问题不是要求如何染色，
然后问有多少种染色方 法的那类题目，
它指的是一
种解题方法。
染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化 方法，
通过将问题中的对象适当
染色，
我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系 ，
再经过一定的逻辑推理，
便能得出
问题的答案。这类问题不需要太多的数学知识，但 技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典
型的染色方法。
染色问题基本解法：
三面涂色和顶点有关
8
个顶点。
两面染色和棱长有关
。即新棱长（棱长
-2
）×12
一面 染色和表面积有关
。同样用新棱长计算表面积公式（棱长
-2
）×（棱长
-2
）
*6
0
面染色和体积有关
。用新棱长计算体积公式（棱长
-2
）×（棱长
-2
）×（棱长
-2
）
长方体 的解法和立方体同理
，即计算各种公式前长、宽、高都要先减
2
再利用公式计算。
染色问题的解题思路
染色问题是 数奥解题中的难点，
这类问题初看起来好像无从着手，
其实只要认真思考问
题也很容易 解决，下面就染色问题的解题思路说一下。
1
图一
首先，拿到一道题先认真观察，看这个题的突破点。什么是染色问题的突破点呢？那
就是找染色区域中的 一个最多，
这个最多是指一个区域，
其他区域与它连接的最多。
例如图
一中< br>A
区域
A
与
B
、
C
、
D
、
E
、
F
连接最广所以
A
为特殊区域。找到这个区域问题就 容易解
决了。
这个区域可以任意添色就是染最多的颜色。
本题中有
4
种颜色那么
A
可以染
4
种颜色
了。完成这个事件需要
A、
B
、
C
、
D
、
E
、
F6< br>步所以用乘法原理。这道题找到了最特殊的
A
区域第二特殊区域和第三区域的确定也就容 易了，
C
区域是与
A
相连，连接区域的数量仅次
于
A
区域图一中的
C
和
E
区域都可以做第二个特殊区域了，
但只能选一 个，
我们把
C
当成第
二特殊的区域，则
C
可以染
3
种颜色。区域
B
跟
A
、
C
相连那么
B< br>可以染
2
种。
D
与
A
、
C
、
E
相连则只能选
1
种，对吗？我们仔细观察，按顺序说
A---- 4
，
C------3
，
B------- 2
，
D
则连接
A
、
C
当
A
选色 后
C
有
3
种可能，
D
在
A
、
C< br>选色后只有
2
种可能。
E
连接
A
、
D
也有
两种可能。
F
也是连接着
A
、
E
有两种可能 。
这道题就解出来了。
有
4×3×2×2×2=96
种可
能。这道题跟以下一道题有异曲同工之效，大家不妨一起看下图二。
图二
图中
A
与
B
、
C
相连有4
种染色方式，为第一特殊区域。而
B
是与
A
相连的第二特殊区
域（切记，此时选第二特殊区域，乃是跟第一特殊区域相连的一个区域）
B
有
3
种可能，
C
连接
A
、
B
则有
2
种可能，
D
连接
B
、
C
则有
2
种可能，同 理
E
也有
2
种可能。所以此题有
4×3×2×2×2=96
种可能的染色。再来看一个稍微复杂点的问题如图三
2
图三
图中
A
有
5
种染色方式
C------
4
，
B-----3
，
D-----3
，
E ------3
，
F------3
，
G------ 3
。
这道题首先应当注意染色的顺序，先选第一特殊区域，再看跟
A
相连的区域中的第二特殊
区域。还有一道更复杂的题，
图四
有
5
种颜色，图中个区域染不同的颜色，问有几种染色方式。还依照前面的思路过程< br>解，
首先看哪个区域是图中与其他区域相连最多的当成第一特殊区域，
A
为这 个区域，
其次
为
B
，
C
和
D
为对称的哪个 为第三特殊区域都可以，我们把
D
看成第三特殊区域，最后为
C
、
E
、
F
。分好各个区域就开始解题，
A
有
5
种颜色可 以用，
B
则有
4
种，
D
有
3
种，
C
则有
2
种，
F
就复杂了，它的颜色受制于
E
、< br>C
，则
E
跟
C
相同的有
2
种颜色可以选（因 为
C
有
2
种颜色选择），跟
C
不同的有
4
种颜色选择（因为
A
、
D
的颜色确定了，
E
有
5 -2=3
种，则
E
与
C
的搭配有
2×3=6
种颜色 可以选择，
E
不考虑与
C
相同则有
6-2=4
种颜色可以选 择）
，
。
所以
E
和
C
的颜色确定了，最后考虑F
，若
E
和
C
同色，则
F
有
5-2= 3
种颜色可以选择，若
E
和
C
异色则
F
有
5-3=2
种颜色选择。那么当
E
和
C
同色时
F
有
2×3=6
种可以选择，当
E
和
C
异色是则
F有
4×2=8
种可以选择，那么这道题就出来了染色的方式有
5×4× 3×2×3+5×4×3×4×
2=840
种方式。下面再简略的看一道此类问题，如图四，< br>4
种
颜色相邻的区域染不同的颜色，
有几种不同的染色方式。
还按照以 前的思索方式，
首先选第
一特殊区域，则
A
为所选，
A< br>有
4
种染色方式，其次，
C
为第二特殊区域，我们可以按
3
图五
A
、
C
、
B
、
E
、
D
的方式解。则
C
有
3
种染色方式。则
B
有
2
种染色方式，
E跟
B
对称则
E
跟
B
相同则有
2
种染色 方式，
E
和
B
不同则有则有
2
种染色方式。则
E< br>的染色方
式为
2×2=4。
则
D
的染色依靠
B
、
E
，
那么
B
、
E
同色
B
、< br>E
有
2
种方式，
不同色
B
、
E
有< br>4-2=2
种方式，
D
的染色依靠
B
、
E
的 染色，若
B
、
E
同色则
D
有
4-2=2
种 染色方式，若
B
、
E
不同
则
D
有
4-3= 1
种方式，
那么在
B
、
E
同色时
D
染色方 式有
2×2=4，
在
B
、
E
异色时
D
有< br>
2×1=2
种，则依据上面的思路我们可以求出此题的解
4×3×2×2+4 ×3×2×1=48+24=72
种方式。
总之，
染色问 题也有路可循，
分清了问题中的第一特殊区域，
以及依次的各个区域问题
就迎刃而解了 。其中最关键的部分是找特殊区域，不要找错了，如例四若让
B
当第二特殊
区域就不会得到正确答案了。
染色问题的例题讲解一（区域染色问题）
4
5