一元二次方程的求根公式及根的判别式
余年寄山水
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2021年01月22日 15:42
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一元二次方程的求根公式及根的判别式
主讲：黄冈中学高级教师
余国琴
一、一周知识概述
1
、一元二次方程的求根公式
将一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c=0(a≠0)
进行配方，当
b
2
－
4ac≥0
时的根为
．
该式称为一元二次方程的求根公式，
用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，
简 称公式法．
说明：
(1)
一元二次方程的公式的推导 过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋c=0(a≠0)
；
(2)
由求根公式可知，一 元二次方程的根是由系数
a
、
b
、
c
的值决定的；
(3)
应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先 将其化为一般形
式
.
2
、一元二次方程的根的判别式
（
1
）当
b
2
－
4ac
＞
0
时，方 程有两个不相等的实数根
；
（
2
）当
b
2
－
4ac=0
时，方程有两个相等的实数根
（
3
）当
b< br>2
－
4ac
＜
0
时，方程没有实数根．
二、重难点知识
；
1
、对于一元二次方程的各种解法是 重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键
是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法 的优缺点。
(1) “
开平方法
”
一般解形如
“
余的了。
”
类型的题目，如果用
“
公式法
”
就显得多
(
2)“
因式分解法
”
是一种常用的方法，一般是首先考 虑的方法。
(3) “
配方法
”
是一种非常 重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简
化作用，思考于
“
因式分 解法
”
之后，
“
公式法
”
之前。如方程
；用因式分 解，
，
则
6391
这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方 程化为
就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“
公式法
”
是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实
根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入
对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
(
≥0)
求值，所以
2
、在运用
b
2< br>－
4ac
的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：
（
1
）
b
2
－
4ac
是一元二 次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定
a
、
b
、c
，求出
b
2
－
4ac
；
（
2
）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认
a
、
b
、
c
；
（
3
）根的判别式是指
b
2
－
4ac
，而不是
三、典 型例题讲解
例
1
、解下列方程：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
分析：
用求 根公式法解一元二次方程的关键是找出
a
、
b
、
c
的值，再 代入公式计算，
解：
(1)
因为
a=1
，
，
c=10
所以
所以
(2)
原方程可化为
因为
a=1
，
，
c=2
所以
所以
.
(3)
原方程可化为
因为
a=1
，
，
c=
－
1
所以
所以
；
所以
总结：
．
(1)
用 求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，
通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，
通常先将其化为整数，
求出的根要化为最简
形式；
(2)
用求根公式法解方程按步骤进行．
例
2
、
用适当方法解下列方程：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
分析：
要合理地选用适当的 方法解一元二次方程，
就必须熟悉各种方法的优缺点，
处理好特殊
方法和一般方法的关 系。就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，
配方法、公式法是一般方法，而开 平方法、因式分解法是特殊方法。
⑴
公式法是最一 般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有
实根，就一定可以用求根公式求出根 ，但因为要代入一元二次方程的求根公式
求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。如①，可以直接开 平方，就
能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。
⑵
配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定
不用，
若能合理地使用，
也能起到简便的作用。若方程中的一次项系数有因数是偶数，
则可
使用，计算量也不大。如②，因为
224
比较大，分解时较繁，此题中一 次项系数是
-2
。可以
利用用配方法来解，经过配方之后得到
单。
，显得很简
⑶
直接开平方法一般解符合
型的方程，如第①小题。
⑷
因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方
法，
若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，
应考
虑变换方法。
解：
①
两边开平方，得