一元二次方程求根公式推导 讲解设计
余年寄山水
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2021年01月22日 15:42
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-成长的烦恼作文结尾
一元二次方程求根公式的推导
师：同学们大家好，今天我们继续进行对一元二次方程求解的研究。在上节课的
学习 中，我们知道求解一个一元二次方程有很多种方法，那么大家有没有想过有
什么方法能直接给出一元二次 方程的根呢？
生：没有，不过这种方法听起来很方便简单呢。
师：好的，那么今天老师就带着大家 一起学习一元二次方程的公式法，推导一下
方程的求根公式。首先，让我们请一位同学回答一下一元二次 方程的标准形式？
生：
ax
2
+
bx
+
c
=
0
，
其中
a
≠
0
。
师：回答得很好。接下来，我们该选哪种方法来解决这个方程呢？
生
1
：因式分解法！
生
2
：不对，因式分解法只 适合特殊的一元二次方程，而这个方程中的系数都是
未知数，所以我觉得我们应该用配方法。
师：感谢两位同学的发言，第二位同学说的很对，在这个标准方程的求解中，我
们选择配方法。 那么哪位同学记得配方法的基本步骤是什么呢？
生：简单来说，分为
6
个过 程：化
1
，移项，配方，变形，开方和求解。
师：看来这位同学对配方法掌 握得很好呀。首先，考虑这个方程中二次项系数为
a,
且
a
≠
0，
所以我们可以对方程采取什么措施使二次项的系数变成
1
呢？
生：在方程两边同时乘以
。
师：很好，这样方程就变形为
x
2
+
x
+
=
0
。接下来，让我们把常数项移到方程
的右边，这样就得到了
x
2
+
x
=-
（
1
）。接下来我们要对方程左边进行配方。
首先老师想问一下大家还记得完全平方公式吗？< br>
b
a
c
a
b
a
c
a
1< br>a
生：
(
x
+
a
)
2
=
x
2
+
2
ax
+
a
2
师：同学们 真棒！
观察这个完全平方公式，我们发现一次项系数
2
a
除以
2之后再
平方就得到了上式右端中的第三项常数项
a
2
。所以，对照着这个 结论我们可以给
b
2
b
2
b
2
（
1
）
式的左端配上
2
使左边变成
(
x
+
)
，
同时我们要在
（
1
）
式右端也加上
2
2
a
4
a
4
a
b
2
c
b
2
来保证方程左右两端相等，此时（
1
）式变成为
(
x
+
)< br>=-
+
2
，通分整理一下
2
a
a
4
a
b
变成了
(
x
+
)
2
=
2< br>a
b
2
-
4
ac
（
2
）。接下来我 们就要对等式两边开方，这样就变形
4
a
2
b
b
2
-
4
a
c
成为
x
+
=
。大家觉得老师这样 做对吗？
2
2
a
4
a
生：不对，万一（
2
）式右端是一个负数的话就不能开方了，另外，如果右端是
一个正数的话，开方出来的数应该 是绝对值相等，符号相反的两个数。
师：
这位同学说的很好，
这也是我们同 学在开方的时候需要特别注意的一个方面。
b
2
-
4
ac
在 开方时，我们首先考虑被开方数
的正负。我们知道
a
≠
0
，所以分母
2
4a
4
a
2
>
0
，
如果分子< br>b
2
-
4
ac
<
0
，
则一元二次方 程无解；
如果分子
b
2
-
4
ac
≥
0,
那么
一元二次方程有解，下面就需要对等式两端进行开方，让我们请一位同学
来 帮老师继续做下去。
生：
首先，
当
b
2
-
4
ac
=0
时，
方程的解为
x
=
-
±< br>b
2
-
4
ac
=
|
2
a
|
b
b
；
当
b
2
-
4
ac
>
0
,
我们可以得到
x
+
2
a
2
a
，这样我们只需要讨论
a
的正负。
b
b
2-
4
ac
,
然后
x
=
-
±
2
a
2a
b
当
a
>
0
时，
x
+
=
±
2
a
b
2
-
4
ac;
2a