-娃娃不哭

2021年1月22日发(作者：小灰)
主讲：黄冈中学高级教师


一、一周知识概述

1
、一元二次方程的求根公式



将
一
元
二
次
方
程
ax
2
＋
bx
＋c=0(a≠0)
进
行
配
方
，
当
b
2
－
4ac≥0
时
的
根
为
．



该式称为一元二次方程的求根公式，
用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公< br>式法，简称公式法．



说明：
(1)
一元二次方 程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次
方程
ax
2
＋bx
＋c=0(a≠0)；



(2)
由求根公式可 知，一元二次方程的根是由系数
a
、
b
、
c
的值决定的；< br>


(3)
应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用 时必须先将其化为一
般形式
.
2
、一元二次方程的根的判别式
< br>（
1
）当
b
2
－
4ac
＞
0
时，方程有两个不相等的实数根
；

（
2
）当
b
2
－
4ac=0
时，方程有两个相等的实数根
；

（
3
）当
b
2
－
4ac
＜
0
时，方程没有 实数根．

二、重难点知识

1
、对于一元二次方程的各种解法是重 点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的
关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的 优缺点。



(1) “开平方法”一般解形如“
”类型的题目，如果用“公式
法”就显得多余的了。



(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。



(3)
“配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地 使用，往往能
起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程
；
用因式分解，则
6391
这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。



(4) “公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方
程有实根，就一定可以用求 根公式求出根，但因为要代入
求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。

2< br>、在运用
b
2
－
4ac
的符号判断方程的根的情况时，应注意 以下三点：

(
≥0)


（
1
）
b
2
－
4ac
是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时 ，才能
确定
a
、
b
、
c
，求出
b
2
－
4ac
；



（
2
）在运 用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认
a
、
b
、
c< br>；



（
3
）根的判别式是指
b
2
－
4ac
，而不是
三、典型例题讲解

例
1
、解下列方程：


(1)
；

(2)
；

(3)
.
分析：
用求根公式法解一元 二次方程的关键是找出
a
、
b
、
c
的值，再代入公式计算，

解：
(1)
因为
a=1
，
，
c=10









所以





所以



(2)
原方程可化为





因为
a=1
，
，
c=2









所以





所以
.


(3)
原方程可化为





因为
a=1
，
，
c=
－
1




所以





所以
；





所以
．

总结：



(1)
用 求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负
数，通常将其化为正数；如果 方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要
化为最简形式；



(2)
用求根公式法解方程按步骤进行．

例
2
、
用适当方法解下列方程：




①








②




③






④




⑤


⑥




⑦

分析：



要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉 各种方法的优缺点，处理好
特殊方法和一般方法的关系。就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 这四种方
法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。



⑴ 公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方
程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式
求值，所以对 某些方程，解法又显得复杂了。如①，可以直接开平方，
就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁 琐了。



⑵ 配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般 不使用，但并不是
一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。若方程中的一次项系数有因数是偶
数，则可使用，计算量也不大。如②，因为
224
比较大，分解时较繁，此题中一次项 系
数
是
-2
。
可
以
利
用
用
配
方
法
来
解
，
经
过
配
方
之
后
得
到

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