一元三次方程求根公式
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2021年01月22日 15:43
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-秋思改写
一元三次方程求根公式
目录
盛金公式
盛金判别法
盛金定理
传统解法
方程公式历史
一元三次方程求根公式
1.
卡尔丹公式的推导
2.
卡尔丹公式
3.
卡尔丹判别法
根与系数的关系
一个三次方求根计算方法
一元三次方程置换群解法
盛金公式
三次方程
新解法——
盛金公式
解题法
三次方程应用广泛。用
根号
解一元三次方程，虽然有著名的
卡尔丹公
式< br>，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金
推导出一套 直接用
a
、
b
、
c
、
d
表达的较简明形式 的
一元三次方程
的
一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式（
Shengjin's Formulas
）
一元三次方程
aX
3
+bX
2
+cX +d=0
，（
a
，
b
，
c
，d∈R，且
a ≠0）。
重根
判别式
：
A=b
2
－
3ac
；
B=bc
－
9ad
；
C=c< br>2
－
3bd
，
总判别式：
Δ=B
2
－
4AC
。
当
A=B=0
时，盛金公式①
：
X1=X2=X3=
－
b/(3a)=
－
c/b=
－
3d/c
。
当
Δ
=
B
2
－
4AC
>0
时，盛金公式②：
X1=(
－
b
－
(Y1)
1/3
－< br>(Y2)
1/3
)/(3a)
；
X2
，
X3=(
－
2b+(Y1)
1/3
+(Y2)
1/3
)/(6a)±
3
1/2
((Y1)
1/3
)
－
(Y2)
1/3
)i/(6a)
，
其中
Y1
，
Y2=Ab+3a(
－
B±
(B
2
－
4AC)1/2
)/2
，
i
2
=
－
1
。
当
Δ
=
B
2
－
4AC
=0
时，盛金公式③：
X1=
－
b/a+K
；
X2 =X3=
－
K/2
，
其中
K=B/A
，(A≠0)。
当
Δ
=
B
2
－
4AC
<0
时，盛金公式④：
X1=(
－
b
－
2A
1/2
cos(θ /3))/(3a)
；
X2
，
X 3=(
－
b+A
1/2
(cos(θ/
3)±
3
1 /2
sin(θ/3)))/(3a)
，
其中
θ
=arccosT
，
T= (2Ab
－
3a B)/(2A
3/2
)
，
(A>0
，－
1
盛金判别法
盛金定理
盛金定理（
Shengjin's Theorems
）
当
b=0
，
c=0
时，盛金公式①无意义；当
A=0
时，盛金公式③无意义；
当
A≤0
时，盛金公式④无意义；当
T<-1
或
T>1
时，盛金公式④ 无意义。
当
b=0
，
c=0
时， 盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否
存在
A≤0
的值？盛金公式④是否 存在
T<-1
或
T>1
的值？盛金定理给出如
下回答：
盛金定理
1
：
当
A=B=0
时，若< br>b=0
，则必定有
c=d=0
（此时，方程有一
个三重实根
0
，盛金公式①仍成立）。
盛金定理
2
：< br>当
A=B=0
时，若
b≠0，则必定有
c≠0（此时
,
适用盛金公
式①解题）。
盛金定理
3
：
当
A=B=0
时，
则必定有
C=0
（此时
,
适用盛金公式①解题）
。
盛金定理
4
：
当
A=0
时，若
B≠0，则必定有
Δ
>0
（此时， 适用盛金公
式②解题）。
盛金定理
5
：< br>当
A<0
时，
则必定有
Δ
>0
（此时，
适用 盛金公式②解题）
。
盛金定理
6
：
当
Δ
=0
时，若
A=0
，则必定有
B=0
（此时 ，适用盛金公式
①解题）。
盛金定理
7
：
当
Δ
=0
时，若
B≠0，盛金公式③一定不存在
A≤0的值
（此时，适用盛金公式③解题）。
盛金定理
8
：
当
Δ
<0
时，盛金公式④一定不存在
A≤0
的值。（此时，
适用盛金公式④解题）。
盛金定理
9
：
当
Δ
<0
时，盛金公式④一定不存在
T≤
-1
或
T≥1
的值，
即
T
出现的值必定是
-1
显然，当
A≤0
时，都有相应的盛金公式解题。
< br>注意
：盛金定理逆之不一定成立。如：当
Δ
>0
时，不一定有
A<0
。
盛金判别法（
Shengjin's Distinguishing Means
）
① 当
A=B=0
时，方程有一个三重
实根
；
② 当
Δ
=B^2
－
4AC>0
时，方程有一个实根和一对共轭
虚根；
③ 当
Δ
=B^2
－
4AC=0
时，方 程有三个实根，其中有一个两
重根
；
④当
Δ
=B^2
－
4AC<0
时，方程有三个不相等的实根。
盛金定理表明
：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方
程都可 以运用盛金公式直观求解。
当
Δ
=0(d≠0)时 ，使用卡尔丹公式解题仍存在
开立方
。与卡尔丹公式
相比较，盛金公式的表达形式较简 明，使用盛金公式解题较直观、效率较
高；
盛金判别法判别方程的解较直观。
重根判别式
A=b^2
－
3ac
；
B=bc
－
9a d
；
C=c^2
－
3bd
是最简明的式子，由
A
、
B
、
C
构成的总判别式
Δ
=B^2
－
4A C
也
是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与
一元二次方程
的根的判
别式相同；
盛金公式
②中的式子
(
－B±(
B
2< br>－
4AC)^(1/2))/2
具有一元二次
方程求根公式的形式，这些表达形 式体现了数学的有序、对称、和谐与简
洁美。
以上结论，发表在《
海南< br>师范学院
学报
（自然科学版）》（第
2
卷，
第
2期；
1989
年
12
月，中国海南。
国内统一
刊号：
CN46-1014
），
第
91
—
98
页。
范盛金
，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（
NATURAL SCIENCE
JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol.
2,
No.
2
；
Dec
，
1989
）
,
A
new
extracting
formula
and
a
new
distinguishing
means
on
the
one
variable
cubic
equation.
，
Fan
Shengjin.
PP·91—
98
.
传统解法
一元
三次
ax^3
+bx^2+cx+d=0
可用求根公式
x=
求解，它是由方程系数
直接把根表示出来的公式。
这个公式早在公元
9
世纪由
中亚细亚
的 阿尔·花
木子米给出。
南宋数学家
秦九韶
至晚在
1247
年就已经发现一元三次方程的
求根公式，欧洲人在
400
多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是
以那个欧洲人的名字来命名的。
（《数学九章》等）
一元三次方程求根公式
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，
用类似解一元二次方程的求根公式的
配方法
只能将型如
ax^3+bx^2+cx+d=0
的 标准型一元三次方程形式化
为
x^3+px+q=0
的特殊型。
卡尔丹公式的推导
第一步：
ax^3+bx^2+cx+d=0
为了方便，约去
a
得到
x^3+kx^2+mx+n=0
令
x=y-k/3
，
代入方程
(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0
，