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2021年1月22日发(作者：空落落的近义词)
一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则



一、一般三次方程的简化



对于一般形式的三次方程
ax3+bx2+cx+d=0
（a≠0），

两
边同除以
a
，即可化为首项系数为
1
的三次方程



x3+bax2+cax+da=0.


作变量代换



x=y-b3a.
（
1
）



可消去二次项，得



y3+py+q=0.
（
2
）



其中
p=-b2-3ac3a2
，
q=-9abc-2b3-27a2d27a3.
（
3
）



下面我们把形如式（
2
） 的三次方程称为简约三次方程，并
约定其一次项系数
p≠0.



二、简约三次方程的三角函数解法和求根公式



在方程（
2
）中作变量代换
[1]


y=2-p3cosz.
（
4
）



利用三倍角公式
cos3z=4cos3z-3cosz
，

方程（
2
）变为



cos3z=-q/2（
-p/3
）
3.
（
5
）



定义参数

χ
=-q/2
（
-p/3
）
3.
（
6
）



称之为三次方程
y3+py+q=0
的关键比
（
key
ratio
）
，
式
（
5
）
即



cos3z=
χ
.
（
7
）



利用欧拉公式
cosz=eiz+e-iz2.
（
8
）



可将方程（
7
）化为一个以
e3iz
为元的二次方程
（
e3iz
）
2-2
χ
（
e3iz
）
+1=0
，

解得
e3iz=
χ
±
χ
2-1.


定义参数
W=
χ
+
χ
2-1
，

由上式可得
eiz
=
3W
或
13W
，

再
由式（
8
），（
4
）即得方 程
y3+py+q=0
的根为



y=-p33W+13W.
（
9
）



其中
W=
χ
+
χ
2-1
，

χ
=-q/2
（
-p/3
）
3.
（
10
）



复立方根
3W
的三个值正好对应于方程的三个根
.


三、简约三次方程的另一个求根公式



定义参数

λ

=
-q/2
（
p/3
）
3
，

亦称之为三次 方程
y3+py+q=0
的关键比，
对比
χ
的定义式
（6
）
，
若规定平方根的取值满足
（参
见注
1
和 附录
1
）
-p/3=ip/3
，

则
χ
=i
λ
，

于是



W=
χ
+
χ
2-1=i
λ
+
（
i
λ
）
2-1=i
λ
+-
（
λ
2 +1
）
=i
（
λ
+
λ
2+1
）
.


定义参数
Z=
λ
+
λ
2+1
，

则
W=iZ
，

故
3W=e
π
i/6?3Z
（参见
附录
1
），

代入式（
9
）可得



y=p3e2
π
i/3?3Z -1 e2
π
i/3?3Z.


因为
e2
π
i/3
乘以立方根
3Z< br>的三个值后仍得到
3Z
的三个
值，所以上式即



y=p33Z-13Z.
（
12
）



其中



Z=
λ
+
λ
2+1
，

λ
=-q /2
（
p/3
）
3.
（
13
）



四、一般三次方程的两个求根公式



为了把求根公式 （
9
）和（
12
）推广到一般三次方程
ax3+bx2+cx+d= 0
，
只需把相应的简约三次方程
y3+py+q=0
的关键
比
χ
和
λ
直接用系数
a
，
b
，
c
，
d
表出即可
.
将由式（
3
）给出
的
p
，
q
值代入
χ
和
λ
的定义式可得
[2]


χ
= -q/2
（
-p/3
）
3 =
9abc-2b3-27a2d27a32b2-3ac9a23=9abc-2b3-27a2d 2
（
b2-3ac
）
3
，



λ
= -q/2
（
p/3
）
3 = 9abc-2b3- 27a2d2
（
-
（
b2-3ac
））
3.


定义
D=b2-3ac
，

则



χ
=9abc-2b3-27a2d2
（
D
）
3
，
λ
=9abc-2b3-27a2d2
（
-D
）
3.


我们可以把它们称为三次方程
ax3+bx2+cx+d=0
的关键比
. < br>根据求根公式（
9
）和（
12
），并注意到
p=-D3a2< br>和
x=y-b3a
（参
见式（
1
），（
3
） ），我们就得到了下面的结果
.


定理
1
（一般三次方 程的求根公式Ⅰ）对于三次方程
ax3+bx2+cx+d=0
，

定义参数



D=b2-3ac
，

χ
=9abc-2b3-27a2d2
（
D
）
3
，



W=
χ
+
χ
2-1.
（
14
）



则当
D≠0
时它的根为
[3]


x=-b+D
（
3W+13W
）
3a.
（
15）



设
W=|W|ei
β
，
|W |
为复数
W
的模，
β
=argW
为其幅角主值
（< br>-
π


其中
σ
=3|Z|
，

α
=argZ
，
Z=
λ
+
λ
2+1.


注意求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ是等价的，
在实际应用中，
我们可以使用这两个求根公式中的任意一个求解
（可视方便而定）
，

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