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2021年1月22日发(作者：故国三千里)
六年级下
(
仁华课本
)10
第十讲

从算术到代数（二）

第十讲

从算术到代数（二）



在上一讲中我们着重讲了在许多问题中算术方法是不可缺少的；
在这一讲中，
我们将通过一些例子看到代数方法不可取代的巨大优越性和强大
威力，同时说明一 元一次方程，多元一次方程组，不定方程的一般解法
.


例
1
一个学生做
25
道数学题，对一题得
4
分，不答不给分，答错一题倒扣
1
分
.
他有
3
道题未做，得了
73分
.
问他共答对了几道题？



解：设对了
x
道题，则答错
25-3-x
道题
.


依题意列方程：



4x-
（
25-3-x
）
=73





4x-22+x=73







5x
＝
95








x
＝
19.


答：这个学生答对了
19
道题
.


例
2

某水池装有甲、乙两个注水管，单放甲管需
12
小时 注满，单放
乙管需
24
小时注满
.
现在要求
10
小 时注满水池，并且甲、乙两管合开的
时间尽可能少，那么甲、乙两管最少需要合放多少小时？



解：分析一下，由于要求甲、乙两管合放的时间尽可能少，所以必须
让注 水快的甲管在
10
个小时中全开着
.
其余的由乙管补足
.


设甲、乙两管最少需合放
x
小时，则：






答：甲、乙两管最少需要合放
4
小时
.
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例
3

甲、乙两队学生参加郊区夏令营，但只有一辆车接送，坐不下
.
甲队学生坐车从学校出发的同时，乙队学生开始步行
.
车到途中某处让甲
队 学生下车步行，
车立即返回接乙班学生并直开到夏令营，
两班学生正好
同时到达
.
已知学生步行速度为
4
千米
/
小时，汽车载学生时速度为
40
千
米
/
小时，空车时速度为
50
千米
/小时，问甲班学生应步行全程的几分之
几？



解：如图：




设全程为
x
千米，< br>甲、
乙两队分别步行
a
、
b
千米
.
要使两队 学生同时
到达夏令营，只有他们两队步行的路程相等才行，故
a=b.


等量关系是：
乙队走
a
千米路程的时间正好等于汽车送完甲队又原路
返回时遇到乙队的时间，即：






去分母，两端同乘
200
，得



5x-5a+4x-8a=50a






9x
＝
63a








例
4
一个矩形长
33
厘米，宽
32
厘米，用正方形如下图分割，已知
最小正方形边长为
1
厘米，
第二个 小正方形边长为
4
厘米，
请在图中填出
其余正方形的边长
.


解：设如图中第③个小正方形边长为
x
，则其余每个正方形的边 长都
可以用
x
的代数式表达出来，如图所示
.
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再由大长方形的长为
33
厘米可得关系式：



2x
＋
1+x+11=33






3x=21






x=7
（厘米）
.


于是图中所有正方形的边长均可将
x
＝
7
代入，得如图所填的值
.


还可以用大正方形的宽为
32
厘米来验证所求值的正确性：



2x+1+x+1+x+2=15+8+9=32
（厘米）
.


例
5

小明每天定时从家到学校，若小明每分钟走
30< br>米，则迟到
3
分
钟；若小明每分钟走
40
米，则早到
5
分钟
.
求小明家到学校的距离
.


解：设小明家到学校的距离为
S
米，则






去分母，方程两端同乘以
120
：



4S-360=3S
＋
600




S=960.


答：小明家离学校
960
米
.


有的问题必须用两个或更多的未知数才能列出方程，
而且方程的个数也往往不只一个，
我们称含有两个未知数并且未知数所在项的次数都是
1
次的这种 方程为二元一次方程
.


例如
x+y=5.


适合这个二元一次方程的每一对未知数的值叫做二元一次方程的一
个解
.< br>如：方程
x+y=5
的正整数解有：

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x=1
，
y=4
；
x=2
，
y=3
；
x
＝
3
，
y=2
，
x=4
，
y=1
这四个解
.


如果一个问题的两个未知数必须满足两个二元一次方程，
这两个方程
联立在一起就叫做二元一次方程组
.
同时适合这两个二元一次方程的每一
对未 知数的值叫做这个二元一次方程组的一个解
.


多个未知数的方程组也可 以类似地定义，
解法也类似，
在这里举两个
最简单的例子来介绍二元一次方程组的解法
.
常用的有代入消元法和加减
消元法
.
总之都是先设法消去一个未知 数
.


①代入消元法：



例
6

解二元一次方程组






把（
2
）中的
y
用（
1
）中 的
3x
代替，就可以消去一个未知数
y
，得：



x
＋
3x=8



4x=8



x=2.


再把
x=2
的值 代入（
1
）或（
2
），得：
y=6.


∴这个方程组的解为






②加减消元法：



例
7

解方程组






（
2
）
-
（
1
）得：
6x=54










x
＝
9.
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∴原方程组的解为







再看几个二元一次方程组的例子
.


例
8
< br>一条路从甲地到乙地是下坡，从乙地到丙地是平路，一人骑车
以每小时
12
千米 的速度下坡，而以每小时
9
千米的速度通过平路到达丙
地，共用了
55
分钟；回来时以每小时
8
千米的速度行至乙地，又以每小
时
4
千米 的速度行到甲地，共用了
1.5
小时
.
问从甲地到丙地共有多少千
米 ？



解：
设从甲地到乙地为
x
千米，
从乙地到丙地为
y
千米，
依题意可得
下列方程组：





去分母，




（
1
）两端同乘以
36
得：





3x+4y=33.


（
2
）两端同乘以
8
得：





y+2x=12.


∴原方程组与下面方程组同解
.





由（
4
）得
y=12 -2x
，代入（
3
）消去
y
得：



3x+4
（
12-2x
）
=33
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