-关于爱情的格言

2021年1月22日发(作者：今日立春)






第十九讲

分组法进阶


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通过上一讲的学习，
同学们对 于假设法有了更为深入的了解，
这一讲我们就来深入学习解决鸡兔同
笼问题的另一种重要方法— —分组法．

题目中的倍数关系往往是分组的依据，
像例题
1
那样，
条件说：
“兔子数量是鸡的
3
倍
”
，
于是就把．
．
3
只兔子和
1
只鸡分为
1
组．

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例题
1
鸡兔同笼，兔子数量是鸡的
3
倍，且兔子腿数比鸡腿数多
90
条．求鸡和兔子各有几只？

分析：兔子的数 量是鸡的
3
倍，则一组中应为什么样子？注意一组中兔子腿比鸡腿多几条？




6





练习
1
鸡兔同笼，兔的数量是鸡的
2
倍，且兔腿数比鸡腿数多84
条．求鸡和兔子各有几只？

例题
2
独角兽数量比九角怪 的
3
倍多
5
只，且九角怪比独角兽的角数多
91
个．求九角 怪有几只？

分析：
一组中应为什么样子？注意将多余的
5
只独角兽 对应的角减去，
这时两种动物的角数差几个呢？




练习
2
三脚猫数量比五脚蛇的
3
倍多
2
只，且三 脚猫脚数比五脚蛇脚数多
94
只．求三脚猫有几只？


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前面几道例题都采用了分组的方法．要特别指出的是我们要从题目条件出发，选择适当的分组方
式．如果知道的是两种动物的数量差，那么每组中就各有一个；如果知道两种动物的倍数关系，
那么就< br>按照倍数关系分组；
如果两种动物的关系是几倍多几或者几倍少几，
则可以通过
“减多余”
或
“补不足”
来凑成整倍数，然后求解．

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例题
3
中秋节前夕，公司给员工发购物券．市场部每人得到
2< br>张月饼券和
3
张水果券，技术部每人得到
2
张月饼券和
4张水果券．已知技术部得到的月饼券比市场部得到的多
10
张，且技术部得到的水果券比< br>市场部得到的多
64
张，问：市场部和技术部各有多少人？

分析：根 据技术部得到的月饼券比市场部得到的多
10
张且市场部和技术部每人都有
2
张月饼券能否分
析出两个部门之间的人数差？再根据这个人数差画出水果券的分组图？



练习
3
儿童节前夕，
老师给学生们发礼品．
男生每人得到
1
支铅笔和
3
张电影券，
女生每人得到
1支铅笔
和
4
张电影券．已知男生得到的铅笔数量与女生得到的铅笔数量一样，一共 发了
56
张电影券，问：男
生和女生各有多少人？


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例题
3
中涉及的关系比较多，
一定要注意找出其中的不变量是什么 ？上节课在学习假设法进阶时提

7

到过有时的不变量是某个单一元素，
有时是和不变，
有时是差不变．
本题的核心在于不管是市场部还是
技术部每人 所得的月饼券都是
2
张，
这就是不变量，
也是本题的突破口，
从而可 以弄清市场部和技术部
人数上的差，从而得出“头差”
，这就是解决隐藏“头差”的方法——寻 找不变量，同时也是寻找隐藏
“头和”的方法．

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例题
4
鸡兔同笼，鸡的腿数和兔的腿数一样多，而鸡比兔子多了
15
只，那么笼子里有多少只兔子？

分析：几只鸡和
1
只兔子的腿数一样多？



练习
4
鸡兔同笼，鸡的腿数和兔的腿数一样多，而鸡比兔子多了
20
只，那么一共有多少只鸡？

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例题
4
中没有明确给 出倍数关系，但通过
“腿数一样多”
提示了
2
倍的关系．其实例题
4
也可以通
过“鸡比兔子多了
15
只”来分组，因为这句话换个说法就是“鸡比 兔子的
1
倍多
15
只”
，因此也可以
把
1
只鸡与
1
只兔子分为一组来解决．

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例题
5
高思地下停车库停了很多车，其中三轮车的轮子数是自行车轮子数的
3
倍，且三轮车比自行车多
18
辆，那么三轮车和自行车各有多少辆？（提示“三轮车 有三个轮子，自行车有两个轮子”
）

分析：三轮车的轮子数是自行车轮子数的
3
倍，那么几辆三轮车几辆自行车在一组中？


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本 堂的核心在于“头倍腿差”的题型以及“腿倍”的题型，其中“头倍腿和”与“头倍腿差”非常
类似，< br>都是要先
“分组”
，
若是腿和则要找出每组所对应的
“腿和”
，
若是腿差则要找出每组所对应的
“腿
差”
．若遇到非整倍的题目，一定要注 意“减多余，补不足”的原则．接下来是关于“腿倍”的题型，
可以根据“腿倍”转化为“头倍”
，再进行求解．其中会有一些稍难的题型，如涉及到不变量的题型，
一定要注意寻找隐藏的不变量．< br>
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