容斥原理例题精编版
巡山小妖精
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2021年01月22日 21:13
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学科：奥数
教学内容：第四讲
容斥原理（二）
上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。
例
1
五年级一班有
45
名同学，每人都积极报名参加暑 假体育训练班，其中报足球班
的有
25
人，报篮球班的有
20
人，报 游泳班的有
30
人，足球、篮球都报者有
10
人，足球、
游泳都报者 有
10
人，足球、篮球都报者有
12
人。请问：三项都报的有多少人？
分析
：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图
.
要计算阴影部分的面积 ，我们记
A
∩
B
为圆
A
与圆
B
公共部分的 面积，
B
∩
C
为圆
B
与圆
C
公共部分的面 积，
A
∩
C
表示圆
A
与圆
C
的公共部分的 面积，
x
为阴影部分的面积则图形盖住的面积为：
A+B+C-A
∩
B-B
∩
C-A
∩
C+X
。
请同学们注意：阴影部分的面积 先加了
3
次，然后又被减了
3
次，最后又加了
1
次。
解答
：设三项都报的有
x
人，由容斥原理有
30+25+20-10-10-12+x=45
解得
x=2
。
答：三项都报名的有
2
人。
说明
：在“
A+B+ C-A
∩
B-B
∩
C-A
∩
C+X
”式中，
A
，
B
，
C
，
A
∩
B
，
B
∩
C
，
A
∩
C
，
x
和总量< br>这
8
个数中，只要知道了
7
个数，就可通过列方程求出第
8< br>个数。
例
2
从
1
至
1000
这
1000
个自然数中，不能被
3
、
5
、
7
中任何一个自然数整除的数一
共有多少个？
分析：
第一步先求出 ：能被
3
、
5
、
7
中任何一个自然数整除的数一共有多少个 ？第二
步再求出：
不能被
3
、
5
、
7
中任 何一个自然数整除的数一共有多少个？能被
3
整除的自然数
的个数
+
能被
5
整除的自然数的个数
+
能被
7
整除的自然数的个数－
（既能被
3
整除又能被
5
整除的自然数的个数
+
既 能被
3
整除又能被
7
整除的自然数的个数
+
既能被
5
整除又能被
7
整除的自然数的个数）
+
能同时被
3
、
5
、
7
整除的自然数的个数
=
能被
3
、
5
、
7
中任何一个自
然数整除的数的个数。
解答：
能被
3
整除的自然数有多少个？
1000
÷
3=333
……
1
有
333
个。
能被
5
整除的自然数有多少个？
1000
÷
5=200
有
200
个。
能被
7
整除的自然数有多少个？
1000
÷
7=142
……
6
有
142
个。
既能被
3
整除又能被
5
整除的自然数有多少个？
1000
÷
15=66
……
10
有
66
个。
1
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既能被
3
整除又能被
7
整除的自然数有多少个？
1000
÷
21=47
……
13
有
47
个。
既能被
5
整除又能被
7
整除的自然数有多少个？
1000
÷
35=28
……
20
有
28
个。
能同时被
3
、
5
、
7
整除的自然数的个数有多少个？
1000
÷（
3
×
5
×
7
）
=9
……
55
有
9
个。
能被
3
、
5
、
7
中任何一个自然数整除的数一共有：
333+200+142
－（66+47+28
）
+9=457
个。
所以不能被
3
、
5
、
7
中任何一个自然数整除的数一共有：
1000－
543=457
例
3
某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球 三个项目的测试，有
4
名学生在这三
个项目上都没有达到优秀，
其余每人至少 有一个项目达到优秀。
这部分达到优秀的项目、
人
数如下表：
短跑
17
游泳
18
篮球
15
短跑
游泳
6
游泳
篮球
6
篮球
短跑
5
短跑、游
泳、篮球
2
请问：这个班有多少名学生？
分析
：
本题是较复杂的容斥原理的题 目，
可以画一个长方形表示全班学生，
再画三个相
交的圆分别表示短跑、
游泳 、
篮球得优秀的学生。
注意计算短跑人数
+
游泳人数
+
篮球 人数时，
短跑游泳人数、
游泳篮球人数、
篮球短跑人数分别被算过两次，
而短 跑游泳篮球人数则被计
算了
3
次。
解答
：至少 一项优秀人数
=
短跑人数
+
游泳人数
+
篮球人数
-
（短跑游泳人数
+
游泳篮球人
数
+
篮球短跑人数）
+
短跑游泳篮球人数
=17+18+15-
（
6+6+5
）
+2=35
所以
全班人数
=
至少一
项优秀人数
+
未得优秀人数
=39
。
说明
：
本题解中的公式 是三个不同集合相互相交而得的问题所用的容斥原理公式，
本题
也可依次计算图中每一小块所代 表的集合的人数最后再求和。
如图所示，
图中分成
8
个部分：
G=
短跑游泳篮球三项优秀人数
=2
D=
只有短跑游泳两项优秀人 数
=
短跑、
游泳优秀人数
-
短跑游泳篮球三项优秀人数
=6 -2=4
E=
只有游泳篮球两项优秀人数
=
游泳、
篮球优秀人数< br>-
短跑游泳篮球三项优秀人数
=6-2=4
F=
只有篮球短跑两项优 秀人数
=
篮球、
短跑优秀人数
-
短跑游泳篮球三项优秀人数
=5-2=3
A=
只有短跑一项优秀人数
=
短跑优秀人数
-
（
D+G+F
）
=17-
（
4+2+3
）
=8
B=
只有游泳一项优秀人数
=
游泳优秀人数
-
（
D +G+E
）
=18-
（
4+2+4
）
=8
C=< br>只有篮球一项优秀人数
=
篮球优秀人数
-
（
E+G+F
）
=15-
（
4+2+3
）
=6
H=
三个项目均未达到优秀人数
=4
；
所以
A+B+C+D+E+F+G+H=8+8+6+4+4+3+2+4=39
例
4
如下图，在长方形
ABCD
中，
AD=15
厘米，
AB=8
厘米，四边形
OEFG
的面积是
9
平
方厘米。请问：阴影部 分的面积是多少平方厘米？
2
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分析
：注意到三角形
ABD
、三角形
ACD
面积的和比所求的阴影部分多算了三角 形
AED
与
三角形
DOG
面积的和，而这两个三角形的面积和可由三 角形
AFD
的面积减去四边形
OEFG
的
面积得到，这样就可以求出 阴影部分的总面积。
解答
：三角形
ABD
、三角形
AFD
、三角形
ACD
都可以
AD
为底，
AB
为高，故它 们的面积
都等于
AD
×
AB
÷
2=15
×
8
÷
2=60
（平方厘米）
。
阴影部分面积
=< br>（三角形
ABD
面积
+
三角形
ACD
面积）－
（三角形
AFD
面积
-
四边形
DEFG
面积）
=
（
60+60
）
-
（
60-9
）
=69
（平方厘米）
。
说明：
本题还有其它（例3
的第
2
中方法）的方法，请你想一想。
例
5 < br>某班同学参加期末测试，得优秀成绩的人数如下：数学
20
人，语文
20
人，英语
20
人，数学、英语两科都是优秀成绩的有
8
人，数学、语文两科 成绩都是优秀的有
7
人，
语文、
英语两科成绩都是优秀的有
9
人，
三科都没得优秀成绩的有
3
人。请问：这个班最多
有多少人？最少有多 少人？
分析
：如下图，数学、语文、英语得优秀成绩的的同学都包含在这个班中，设 这个班有
y
人，用长方形表示
.A
、
B
、
C
分别表示数学、语文、英语得优秀成绩的的人，由已知有
A
∩
C=8
，A
∩
B=7
，
B
∩
C=9
，
A
∩
B
∩
C=X.
解答：
由容斥原理有
Y=A+B+C-A
∩
B-A
∩
C-B
∩
C+A
∩
B
∩
C+3
即
y=20+20+20-7-8-9+x+3=39+x
。
以下我们考虑如何求
y
的最大值与最小值。
由
y=39+ x
可知，当
x
取最大值时，
y
也取最大值；当
x
取 最小值时，
y
也取最小值。因
为
x
是数学、
语文、
英语三科都得优秀成绩的人数，
所以他们中的人数一定不超过两科得优
秀成绩的人数，即
x=7
，
x=8
且
x=9
，由此我们得到
x=7.
另一方面数学得优秀成绩的的同学
有可能语文都没得优秀成绩的，也就是说也有这种可能：没有三科都 得优秀成绩的的同学，
故
x=0
，故
x =0
或
x=7
。
当
x
取最大值
7
时，
y
有最大值
39
＋
7=46
，当
x
取最小值
0
时，
y
有最小值
39
＋
0=39
。
答：这个班最多有
46
人，最少有
39
人。
例
6
五年级
2
班有
46
名学生参加三项课外兴 趣活动，其中
24
人参加了数学小组，
20
人参加了语文小组，参加文艺小组 的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的
3.5
倍，
又是三项活动都参加人数的
7
倍，
既参加文艺小组又参加语文小组相当于三项活动都参加人
数的
2
倍，既参加数学小组又参加语文小组的学生有
10
人。请问：参加文艺小组的学生有
多少人？
分析：
这里涉及了三个对象：数学小组、语文小组、文艺小组，然而从题目的叙述来
3