容斥原理(二)
余年寄山水
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2021年01月22日 21:13
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才子教育
小学奥数系列
容斥原理（二）
【例题分析】
例
1.
有
25
人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达 到优秀。第一次达到优
秀的有
10
人，第二次达到优秀的有
13
人， 第三次达到优秀的有
15
人，三次都达到优秀
的只有
1
人。只有两次 达到优秀的有多少人？
分析与解：“每人至少有 一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两
次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（ 图中阴影部分）。
例
2.
在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮 ，其中有
6
人
要了冰棍，
6
人要了汽水，
4
人要了 雪碧，只要冰棍和汽水的有
3
人，只要冰棍和雪碧的
没有，只要汽水和雪碧的有
1
人；三样都要的有
1
人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？
分析与解：根据题意画图。
（人）
答：只有两次达到优秀的有
11
人。
- 1 -
才子教育
小学奥数系列
方法一：
方法二：
答：共有
10
个小朋友去了冷饮店。
例
3.
有
28
人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有
8
人没参加跑的项目，
参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是
17
人。问：只参加跑和投掷两项的有
多少人？
分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，
我们可以在下图中参加一项的区域用
0
表示。
（人）
（人）
例
4.
某校六年级二班有
49
人参加了数学、英语、语 文学习小组，其中数学有
30
人参
加，英语有
20
人参加，语文小组 有
10
人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组
的有
3
人， 既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参
加的只有
1
人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
分析与解：根据已知条件画出图。
- 2 -
（人）
答：只参加跑和投掷两项的有
3
人。
才子教育
小学奥数系列
三圆盖住的总体为
49
人，假设既参加数 学又参加英语的有
x
人，既参加语文又参加
英语的有
y
人，可以列出 这样的方程：
整理后得：
由于
x
、
y
均为质数，因而这两个 质数中必有一个偶质数
2
，另一个质数为
7
。
答：既参加英语又参加数学小组的为
2
人或
7
人。
例
5.
某班同学参加升学考试，
得满分的 人数如下：
数学
20
人，
语文
20
人，
英语
20
人，
数学、英语两科满分者
8
人，数学、语文两科满分者
7< br>人，语文、英语两科满分者
9
人，
三科都没得满分者
3
人。问 这个班最多多少人？最少多少人？
分析与解：根据题意画图。
设三科都得满分者为
x
全班人数
整理后：全班人数＝
39
＋
x
39+x
表示全班人数，当
x
取最大值时，全班人数就最多，当
x< br>取最小值时，全班人数
就最少。
x
是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因 而
x
中的人数一定不超过两科得
- 3 -