小学奥数-容斥原理(教师版)
萌到你眼炸
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2021年01月22日 21:13
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-以和为话题的作文
容斥原理
森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟 类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；
“我有
翅膀，我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把 蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有
80
种鸟类。狮子大王又派大象去统计野 兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象
说；
“我没有羽毛，我应该是属于兽 类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计
出森林中一共有
60< br>种兽类。最后狮子大王问：
“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见
了仙鹤和 大象的统计结果，
高兴地向狮子大王汇报：
“这还不简单！
森林中共有鸟类和兽类140
种。
”
这个统计正确吗？
同学们肯定会说：
“ 不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是
139
种。
”这个故事说明了一个
数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。当需要计数的两类事物互相包含（有部
分重复 交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。由此我们得到逐步排除法（容斥原理）
：当两个计数
部 分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理
1
如果被计数的事物有
A
、
B
两类，
那么，
A
类
B
类元素个数总和
=
属于
A
类元素个数
+
属
于
B
类元素个数 —既是
A
类又是
B
类的元素个数。
即
A
∪
B = A+B - A
∩
B
容斥原理
2
如果被计数的事物有
A
、
B
、
C
三类，那么，
A
类和
B
类和
C
类元素个数总和
=
A
类元素个
数
+ B
类元素个数
+C
类元素个数— 既是
A
类又是
B
类的元素个数—既是
A
类又是
C< br>类的元素
个数—既是
B
类又是
C
类的元素个数
+既是
A
类又是
B
类而且是
C
类的元素个数。
即
A
∪
B
∪
C = A+B+C - A
∩
B - B
∩
C - C
∩
A + A
∩
B
∩
C
容斥原理
1
【 例
1
】
★
一次期末考试，某班有
15
人数学得满分，有12
人语文得满分，并且有
4
人语、
数都是满分，那么这个班至少有一门 得满分的同学有多少人？
【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满 分”称为“A
类元素”，
“语文得满分”称为“B
类元素”，
“语、
数都是满分”称为“既是
A
类又是
B
类的元素”，
“至少有一门得满 分的同学”称为“A
类和
B
类元素个数”的总和。
15+12-4=23
【小试牛刀】电视台向
100
人调查前一天收看电视的情况，有
62
人看过
2
频道，
34
人看过
8
频道，其中
11
人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人 ？
【解析】
100-(62+34-11)=15
【例
2
】
★
一个班有学生
48
人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中 的一项。已知参加跑步的有
37
人，参加跳高的有
40
人，请问：这两项比赛 都参加的学生有多少人？
【解析】两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高 人数重复的部分，排除掉重复
部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数。
40-
（
48
－
37
）
=29
人。
【小试牛刀】
五年级
96
名学生都订了报纸，有
64人订了少年报，有
48
人订了小学生报。两种报
纸都订的有多少人？
【解析】用左边的圆表示订少年报的
64
人，右边的圆表 示订小学报的
48
人，中间重叠部分表示两
种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的 人数被统计了两次：
64
＋
48=112
人，比总人数多
112－
96=16
人，这
16
人就是两种报刊都订的人数。
【例
3
】
★★
实验小学各年级都参加的一次书法比赛中， 四年级与五年级共有
20
人获奖，在获奖
者中有
16
人不是四年级的 ，有
12
人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
【解析】 由“
16
人不是四年级的”可知：
16
人是五年级和其他年级的；由“
12
人不是五年级的”
可知：
12
人是四年级和其它年级的。
用< br>16
＋
12
可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人数和，
再减去
20
就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：
（
16
＋< br>12
－
20
）÷
2=4
人，该校参加
书法比赛获奖的 总人数是
4
＋
20=24
人。
【例
4
】
★★
五一小学举行小学生田径运动会，其中
24
名运动员不是六年级的，28
名运动员不是
五年级的，已知五、六年级运动员共有
32
名，求五、 六年级和中低年级运动员各有多少名？
【解析】
（
24+28-32
）÷
2=10
【例
5
】
★
在
100
个外语教师中，懂英语的有
75
人 ，懂日语的有
45
人，其中必然有既懂英语又懂
日语的老师。问：只懂英语的老师有多 少人？
【解析】显然，两种语言都懂的人在懂英语的
75
人中统计过一次， 在懂日语的
45
人中又统计过一
次。因此，
75
＋
45=1 20
人，比
100
多出的
20
人就是两种语言都懂的人数。然后，从 懂英语的
75
人
中减去两种语言都懂的
20
人，就是只懂英语的人数 了：
75
－
20=55
人。
【小试牛刀】
40< br>人都在做加试的两道题，
并且至少做对了其中的一题。
已知做对第一题的有
30
人，
做对第二题的有
21
人。只做对第一题的有多少人？
【解析】
19
人
【例
6
】
★★
在
1
至
1000
这
1000
个自然数中，能被
5< br>或
11
整除的自然数一共有多少个？
【解析】如下图，小圆表示能被
11
整除的自然数，大圆表示能被
5
整除的自然数。如果把大圆内的
200
个自然数和小圆内
90
个自然数相加，阴影部分的自然数事实上被加了两次。因 此要想求出：能
被
5
或
11
整除的自然数的个数就应该：
能被
5
整除的自然数的个数
+
能被
11
整除的自然数的个数－既能被
5
整除又能被
11
整除的自然
数的个数
=
能被
5
或
11
整除的自然数的个数。
【解析】
能被
5
整除的自然数有多少个？
1000
÷
5=200
有
200
个。
能被
11
整除的自然数有多少个？
1000
÷
11=90
……
10
有
90
个。
既能被
5
整除又能被
11
整除的自然数有多少个？
1000
÷
55=18
……
10
有
18
个。
所以能被
5
或
11
整除的自然数的个数是：
200+90
－
18=272
个。
【小试牛刀】
60
名同学面向老师站成一横排。
老师先让同学们从左到右按 照
1
、
2
、
3
、
4
、
……、59
、
60
的顺序依次报数，再让报数是
4
的倍数的同学向后转 ，接着又让报数是
6
的倍数的同学向后转。
请问：现在面向老师的学生还有多少名？< br>
【解析】
从
1
到
60
中，
4
的倍 数一共有：
60
÷
4=15
个，
6
的倍数一共有：
60
÷
6=10
个，既是
4
的倍
数又是
6
的倍数有：
60
÷
12=5
个。一次都不转的学生是：
60
－（
15+10
－
5
）
=40
个，转两次的学生
有
5
个，所以面向老师的学生还有
40+5=45
个。
【例
7
】
★★★
有一根长是
240
厘米的绳子，从一端开始每隔
4
厘米作一个记号，同时每隔
6
厘米
也作一个记号，然后将标有记号 的地方剪断，请问：绳子一共被剪成了多少段？
【解析】
240
厘米长的绳 子每隔
4
厘米作一个记号，这样一共有：
240
÷
4
－1=59
个记号；每隔
6
厘
米作一个记号，这样一共有：
240
÷
6
－
1=39
个记号。而两者每隔
12
厘米重复 一个记号，这样一共
重复了：
240
÷
12
－
1=19个记号。因此绳子上共有记号数是：
59+39
－
19=79
，所以绳子 一共被剪成
了
79+1=80
段。
容斥原理
2
【例
8
】
★★
某校有
28
名学生参加市运动会，参加跑步类 项目的有
15
人，参加跳类项目的有
13
人，参加投掷类项目的有
1 4
人，既参加跑又参加跳项目的有
4
人，既参加跑又参加投掷项目的有
6
人，既参加跳又参加投掷项目的有
5
人，三种项目都参加的有
2
人，试说明，这个报名表有误。
【解析】按照赞加各个项目的详细人数，该校参加市运动会 的人数为
15+13+14-4-6-5+2=29
人，与
实际参加人数不符，所以这 个报名表有误。
【小试牛刀】
某校六（
1
）班有学生< br>45
人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足
球队的有
25
人 ，参加排球队的有
22
人，参加游泳队的有
24
人，足球、排球都参加的有< br>12
人，足球、游泳都参加的有
9
人，排球、游泳都参加的有
8
人，问：三项都参加的有多少人？
【解析】参加足球队的人数
25
人为
A
类元素，参加排球队人数
22
人为
B
类元素，参加游泳< br>队的人数
24
人为
C
类元素，既是
A
类又是
B
类的为足球排球都参加的
12
人，既是
B
类又
C
类的为足球游泳都参加的
9
人，既是
C
类又是
A
类的为排球 游泳都参加的
8
人，三项都参加
的是
A
类
B
类C
类的总和设为
X
。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为
A
类
B
类和
C
类的总和。
25+22+24-12-9-8+X=45
解得
X=3
【例
9
】
★★★
从
1
至
1000
这
1000
个自然数中，不能被
3
、
5
、
7
中任何一个自然数整除的数一共
有多少个？
【解析】
能被
3
整除的自然数有多少个？
1000
÷
3=333
……
1
有
333
个。
能被
5
整除的自然数有多少个？
1000
÷
5=200
有
200
个。
能被
7
整除的自然数有多少个？
1000
÷
7=142
……
6
有
142
个。
既能被
3
整除又能被
5
整除的自然数有多少个？
1000
÷
15=66
……
10
有
66
个。
既能被
3
整除又能被
7
整除的自然数有多少个？
1000
÷
21=47
……
13
有
47
个。
既能被
5
整除又能被
7
整除的自然数有多少个？
1000
÷
35=28
……
20
有
28
个。
能同时被
3
、
5
、
7
整除的自然数的个数有多少个？
1000
÷（
3
×
5
×
7
）
=9
……
55
有
9
个。
能被
3
、
5
、
7
中任何一个自然数整除的数一共有：
333+200+142
－（66+47+28
）
+9=457
个。
所以不能被
3
、
5
、
7
中任何一个自然数整除的数一共有：
1000－
543=457
【小试牛刀】分母是
1001
的最简分数一共有多少个？