巧算方法
绝世美人儿
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2021年01月22日 21:14
最佳经验
本文由作者推荐
-楼兰的忧郁
常用的巧算方法
【顺逆相加】
用“顺逆相加”算式可 求出若干个连续数的和。例如著名的大
数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”题，可以计算为
所以，
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋……＋
99
＋
100
=101
×
100
÷
2
=5050
。
又如，计算“
3+ 5+7+
………＋
97+99=
？”，可以计算为
所以，
3+5
＋
7
＋……＋
97+99=
（
99
＋
3
）×
49
÷
2 = 2499
。
这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古 代的《张丘建算经》。张丘建
利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题：
“今有女子不善织，
日减功，
迟。
初日织五尺，
末日织一 尺，
今三十日织讫。
问织几何？”
题目的意思是：有 位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，
并且减少的数量都相等。她第一天织了
5
尺布，最后一天织了
1
尺，一共织了
30
天。问她一共织了多少布 ？
张丘建在《算经》上给出的解法是：
“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。”
“答曰：二匹一丈”。
这一解法，用现代的算式表达，就是
1
匹
=4
丈，
1
丈
=10
尺，
90
尺
=9
丈
=2
匹
1丈。（答略）
张丘建这一解法的思路，据推测为：
如果把这妇女从第一天直到第
30
天所织的布都加起来，算式就是
5
＋…………＋
1
在这一算式中，
每一个往后加的加数，
都会比它前一个紧挨着它的加数，
要
递减一个相同的数，而这 一递减的数不会是个整数。
若把这个式子反过来，则算式便是
1+
………………＋
5
此时，
每一个往后的加数，
就都会比它前一个紧挨着它的加数，
要递增一个
相同的数 。同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。
假若把上面这两个式 子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等”
这一特点，那么，就会出现下面的式子：
所以，加得的结果是
6
×
30=180
（尺）
但这妇女用
30
天织的布没有
180
尺，而只有
180
尺布的一半。所以，这妇
女
30
天织的布是
180
÷
2=90
（尺）
可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。
【分组计算】
一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的方法，往往可
以使它很快地解答出来。例如
求
1
到
10< br>亿这
10
亿个自然数的数字之和。
这道题是求 “
10
亿个自然数的数字之和”，而不是“
10
亿个自然数之和”。
什么是“数字之和”？例如，求
1
到
12
这
12
个自然数的 数字之和，算式是
1
＋
2
＋
3＋
4
＋
5+6+7
＋
8+9+1
＋
0+1+1 +1+1
＋
2=5l
。
显然，
10
亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也
极费时间（很多年都难于算出结 果）的。怎么办呢？我们不妨在这
10
亿个自然
数的前面添上一个“
0
”，改变数字的个数，但不会改变计算的结果。然后，将
它们两两分组：
0
和
999
，
999
，
999
；
1
和
999
，
999
，
998
；
2
和
999
，
999
，
997
；
3
和
999
，
999
，
996< br>；
4
和
999
，
999，
995
；
5
和
999
，
999
，< br> 994
；
………
………
依次类推，可知除最后一个数，
1
，
000
，
000
，
000
以外，其他的自然数与
添上的
0
共
10
亿个数，共可以分为
5
亿组，各组数字之和都是
81
， 如
0+9+9+9+9
＋
9
＋
9< br>＋
9
＋
9
＋
9=81
1+9 +9
＋
9
＋
9
＋
9+9+9+9
＋
8=8 1
………………
最后的一个数
1
，
000
，
000
，
000
不成对，它的数字 之和是
1
。所以，此题
的计算结果是
（81
×
500
，
000
，
000
）＋
1
=40
，
500
，
000
，000
＋
1
=40
，
500
，
000
，
001
【由小推大】
“由小推大”
是一种数学思维方法，
也是一种速算、
巧算技巧。
遇到有些题数目多，
关系复杂时，
我们可以从数目较小的特殊情况 入手，
研究题
目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。例如：
（
1
）计算下面方阵中所有的数的和。
这是个
“
100
×
100
”
的大方阵，
数目很多，
关系较为复杂。
不妨先化大为小，
再由小推大。先观察“
5
×
5
”的方阵，如下图（图
4.1
）所示。
容易看到，对角线上五个“
5
”之和为
25
。
这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图
4.2
那样 拼
接，那么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是
25
。所以，“
5
×
5
”方阵的
所有数之和为
25
×
5=125
， 即
5
3
=125
。
于是，很容易推 出大的数阵“
100
×
100
”的方阵所有数之和为
100
3
=1
，
000
，
000
。
（
2
）把自然数中的偶数，像图
4.3
那样排成五列。最左边的叫第 一列，按
从左到右的顺序，其他叫第二、第三……第五列。那么
2002
出现在哪一列 ：
因为从
2
到
2002
，共有偶数
2002
÷
2=1001
（个）。从前到后，是每
8个偶
数为一组，每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列，后四个偶数分别在
第四、
三、
二、
一列
（偶数都是按由小到大的顺序）
。
所以，由
1001
÷
8=125
…………
1
，可知这
1001
个偶数可以分为
125
组，还余
1
个。故
2002
应排在第二列。
【凑整巧算】
用“凑整方法”巧算，常常能使计算变得比较简便、快速。例
如
（
1
）
99.9+11.1=
（
90
＋
10
）
+
（
9+1
）＋（
0.9+0. 1
）
=111
（
2
）
9
＋
97
＋
998
＋
6=
（< br>9+1
）＋（
97
＋
3
）＋（
998
＋2
）
=10
＋
100
＋
1000
=1110
（
3
）
125
＋
125
＋
125
＋
125
＋
120
＋
1 25
＋
125
＋
125
=155
＋
125
＋
125
＋
125
＋（
120+5
）＋
125
＋
125+125-5
=125
×
8-5
=1000-5
=995
【巧妙试商】
除数是两位数的除法，可以 采用一些巧妙试商方法，提高计算
速度。
（
1
）用“商五法”试商。
当除数（两位数 ）的
10
倍的一半，与被除数相等（或相近）时，可以直接
试商“
5
”。如
70
÷
14=5
，
125
÷
25=5
。
当除数一次不能除尽被除数的时候，有些可以用“无除半商五”。 “无除”
指被除数前两位不够除，
“半商五”指若被除数的前两位恰好等于（或接近）除
数的一半时，则可直接商“
5
”。例如
1248
÷
24=52< br>，
2385
÷
45=53
（
2
）同头无除商八、九。
“同头”指被除 数和除数最高位上的数字相同。
“无除”仍指被除数前两位
不够除。这时，商定在被除数高位数 起的第三位上面，再直接商
8
或商
9
。
5742
÷
58=99
，
4176
÷
48=87
。
（
3
）用“商九法”试商。
当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，
且前三位数字临时组成的数
与除数之和，大于或等于除数的
10
倍时，可以一次定商为“
9
”。
一般地说，假如被除数为
m
，除数为
n
，只有 当
9n
≤
m
＜
10n
时，
n
除
m
的商
才是
9
。同样地，
10n
≤
m
＋n
＜
11n
。这就是我们上述做法的根据。
例如
4508
÷
49=92
，
6480
÷
72 =90
。
（
4
）用差数试商。
当除数是
11
、
12
、
13
…………
18
和
19
，被除数前两位又不够除的时候，可
以用
“差数试商法”
，
即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方
法。若差 数是
1
或
2
，则初商为
9
；差数是
3
或< br>4
，则初商为
8
；差数是
5
或
6
，
则初商为
7
；差数是
7
或
8
，则初商是
6
；差数是
9
时，则初商为
5
。若不准确，
只要调小
1
就行了。例如
1476
÷
18=82
（
18
与
1 4
差
4
，初商为
8
，经试除，商
8
正确）；
1278
÷
17=75
（
17
与
12
的差为5
，初商为
7
，经试除，商
7
正确）。
为了便于记忆，我们可将它编成下面的口诀：
差一差二商个九，差三差四八当头；
差五差六初商七，差七差八先商六；
差数是九五上阵，试商快速无忧愁。
【恒等变形】
恒 等变形是一种重要的思想和方法，
也是一种重要的解题技巧。
它利用我们学过的知识，
去进行有目的的数学变形，
常常能使题目很快地获得解
答。例如
（
1
）
1832
＋
68=
（
1832-3 2
）＋（
68+32
）
=1800
＋
100
=1900
（
2
）
359.7-9.9=
（
359.7+0 .1
）
-
（
9.9+O.1
）
=359.8-10
=349.8
【 拆数加减】
在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数相减或相加，
使隐含的数量关系明朗 化，并抵消其中的一些分数，往往可大大地简化运算。
（
1
）拆成两个分数相减。例如