容斥原理3
别妄想泡我
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2021年01月22日 21:18
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-梦想的力量读后感
容斥原理
脑筋急转弯
:
监狱里关着两名犯人
,
一 天晚上犯人全都跑了
,
可是第二天看守员打开守门一看
,
里面还有
一 个人？
内容精要：
有些数学题目的所求问题，
是由几个条件共同决定的。< br>我们可以分别列出每个条件的情况，
称为一个集合。
用一个圈来表示，
那么，< br>这些圈的交叉重复部分就是同时满足这几个条件的公共部分，
称为“交集”
。
当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。这一原理，我们称
为包含排除原理。也称为容斥原理。
在运用容斥原理解题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意。明白数量关系和逻辑关系。
例
1
：
六年
1
班
42
名同学都 订了报纸，订阅《数学报》的有
32
人，订阅《学习报》的有
27
人，至少有多少人订阅了两种报纸？
分析：
画出示意图，把订阅《数学报》的
32
人作一个集合，把订阅《学习报》的同学做一个集合，
那么它们的交集就是表示两种报纸订 阅人数。
从图中看出订阅《数学报》的
32
人，加上订阅《学习报》的27
人，共有
59
人。这与六（
1
）班的共
有学生数< br>42
人相比是不相等的。从图中看出来这是因为有的学生把这两种报纸都订阅了，我们在算
报纸人数时，把“两种报纸都订阅的人数”多算了一次。我们把两种报纸都订的总人数减去全班人数
的
42
人，就是两种报纸都订的人数。
解：
32+27-42=17
答：至少有
17
人订阅了两种报纸。
例2
：
在
1
至
100
的整数中，能被
2
整除又能被
3
整除的数共有多少个？
分析
：在图中，左椭中（①< br>+
③）表示能被
2
整除的数，右椭圆中（①
+
③）中表示能被
3
整除的数，
那么它们的公共部分②表示既能被
2
整除又能被
3
整除的数。
于是有①
+
②
+
③
=< br>（①
+
②
+
②
+
③）
-
②
解：由
100/2=50
知，
1
至
100
中是2
的倍数的数有
50
个；
由
100/3=33
·
·
·
·
·
·
1
知，
1
至100
中是
3
的倍数的数有
33
个；
由100/6=16
·
·
·
·
·
·
4
知 ，
1
至
100
中是
6
的倍数的数有
16
个 ；
因为
50+33-16=67
，所以知在
1
至
100
中是
2
的倍数或是
3
的
倍数的有
67
个。
例
3
：
六年级一班有
45
名同学，每人都参加暑假体育训练班，其中足球班报
25
人，篮球班报< br>20
人，
游泳班报
30
人，足球、篮球都报者有
12
人，问三项都报者有多少人？
分析：
由于此题比较复杂，我们画图来理解。我们把三 种活动用三个圆
ABC
来表示，把
A
∩
B
记为
A< br>与
B
的公共部分的面积，
B
∩
C
为圆
B与
C
的公共部分的面积，
A
∩
C
表示圆
A与
C
的公共部分的面积，
X
为阴影部分的面积，至少参加一项的人数为：
A+B+C-A
∩
B-A
∩
C-B
∩
C+X
（
ABC
的部分被加了
3
次，
又减了
3
次，所以 还要加上一次）
解
:
设三项都报的有
X
人，由容斥原理有 ：
30+25+20-10-10-12+X=45
X=2
答：三项都参加的有
2
人。
例
4
：
某样 六年级二班有
49
人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学
有
30
人参加，英语有
20
人参加，语文小组有
10
人，老师告诉同 学既参加数