五奥第9讲容斥原理
温柔似野鬼°
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2021年01月22日 21:18
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第九讲
容斥原理
教学目标：
让学生掌握容斥原理的基本类型，并能运用此类题的解题方法灵活地解决问
题。
教学重点：
1
、学会基本的容斥原理公式及其分类。
2
、运用容斥原理的基本方法解决问题，做到不重不漏。
教学难点：
1
、能解决较复杂的容斥原理问题。
2
、含三类的容斥原理。
教学过程
一、故事引入，揭示课题，明确容斥原理的基本类型与解题方法。
故事引入：森林里 住着很多动物，狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数，蝙蝠
跑去说：“我有翅膀，我算鸟类。”仙鹤把蝙蝠统 计进去了，结果得出森林中
共有
80
种鸟类。狮子大王又派大象去统计兽类的种类，蝙 蝠又跑去说：“我没
有羽毛，我算兽类。”结果统计出森林中共有
70
种兽类。最后狮 子大王问：
“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果，向
狮子大 王报告：“森林中鸟类与兽类共计
150
种。”这个统计对吗？兔子跑过
来说：“不对 ，因为在这个统计中，蝙蝠被算了两次。”正确答案应该是
80+70
－
1=149< br>（种）。
师：
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不< br>被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想
是：先不考虑重叠的情况，把包 含于某内容中的所有对象的数目先
计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
知识点：
如果被计数的事物有
A
、
B
两类，那么，
A
类B
类元素个数总和
=
属于
A
类元素个
数
+
属于
B
类元素个数
—
既是
A
类又是
B类的元素个数。
二、教学例题，掌握技巧。
例
1
、 一个班有学生
45
人，参加数学兴趣小组有
30
人，参加音乐兴趣小组的有< br>22
人，并且每人至少参加一个班，这个班两组都参加的有多少人？
分析：直接用公式
解答：
30+22
—
45=7
（人）
课堂练习
32
页
练习
1
答案
25+20=45
（人）
40
—
10=30.
（人）
45
—
30=15
（人）
小结：先计算出所有情况情况，再减去多算的。就可以计算出所用数目。
师：刚才我们学了最简单的容斥原理，下面看一个较复杂的
例
2
、在
1
到
1000
的自然数中，能被
3
或
5
整除的数共有多少个？不能被
3
或
5
整除
的数共有多少个？
分析：先分别求出能被
3
与被
5
整除的个数，再减去既能被
3
整除又能被
5
整除（即
能被
15
）整除的数。
解答：
1000
÷
3=333
（个）……
1
1000
÷
5=200
（个）
[
3
，
5
]
=15 1000
÷
15=66
（个）……
10
333+200
—
66=467
（个）
1000
—
467=533
（个）
课堂练习：在
1
到
100
的自然数中，能被
2
或
3
整除的数共有 多少个？
答案
100
÷
2=50
（个）
100
÷
3=33
（个）……
1
[
2
，
3
]
=6 100
÷
6=16
（个）……
6
50+33
—
16=67
（个）
小结：通过分析，将题 目转化为容斥原理。即先分别求出能被
3
与被
5
整除的个数，
再减去 既能被
3
整除又能被
5
整除的数。
答：能被
3< br>或
5
整除的数共有
467
个，不能被
3
或
5
整除的数共有
533
个
,
。
师：前面的都是含两个的容斥原理，下面我们来学习三个的。
知识点：
如果被计数的事物有
A
、
B
、
C
三类，那么，
A
类和
B
类和
C
类元素个数总和< br>= A
类
元素个数
+ B
类元素个数
+C
类元素个数
—
既是
A
类又是
B
类的元素个数
—
既是< br>A
类又是
C
类的元素个数
—
既是
B
类又是< br>C
类的元素个数
+
既是
A
类又是
B
类而且是
C
类的元素个数。
例
3
、（原例
4
）某 校六（
1
）班有学生
54
人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中
参加足球队的有
25
人，参加排球队的有
22
人，参加游泳队的有
3 4
人，足球、排球都
参加的有
12
人，足球、游泳都参加的有
18< br>人，排球、游泳都参加的有
14
人，问：三
项都参加的多少人？
分析：本题是一道容斥原理
2
的应用，直接用公式即可
解答：
25+22+34
—
12
—
18
—14=37
（人）
54
—
37=17
（人）
答：三项都参加的
17
人。
课堂练习
33
页第
5
题
答案
：
24+31+20
—
5
—
6
—
7+3=60
（人）
刚才是一个直接的容斥原理，下 面我们来看一个容斥原理的应用。这一题需要较强的
分析能力。
例
4
、（原例
5
）在一根长木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成
10
等份，
第二种将木棍分成
12
等份，第三种将木棍分成
15
等份，如 果沿每条刻度线将木棍锯
断，木棍总共被锯成多少段？
分析：师：题目中没有告诉我 们木棍的长度，那锯成几段后该怎样计算？能不能设一
个长度呢？
生：能。
师：那设什么数最简单呢
?
生：
10,12,15
的最小公倍数。
解答：
[10
，
12
，
15]=60
60
÷
10
=6 60
÷
12
=5 60
÷
15
=4
师：每隔
4
，
5
，6
就会锯一段，但是中间会有重复的，
[4
，
5]=20 [4
，
6]=12 [5
，
6]=30 [4
，
5
，
6]=60
60
÷
20
=3
（段）
60
÷
12
=5
（段）
60
÷
30
=2
（段）
60
÷
60
=1
（段）
10+12+15
—< br>3
—
5
—
2+1=28
（段）
答：
，木棍总共被锯成
28
段。
小结：本题首先要明白如 何设数，在数字大小对题目结果没有影响的前提下，一般情
况下设最小公倍数。其次，将分析实际问题中 的条件，再用公式解题。
例
5
（原例
3
）分母是
1001
的最简分数一共有多少个？
注：将“最简分数”改为“最简真分数”并且老 师需首先讲解
什么是“最简真分数”如时间不够，可选择不讲本题。