2010年六年级奥数题：容斥原理(a)
巡山小妖精
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2021年01月22日 21:21
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-世事变化无常
2010
年六年级奥数题：容斥原理（
A
）
一、填空题（共
10
小题，每小题
3
分，满分
3 0
分）
1
．
（
3
分）一个班有
45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书．借语文课外书的有
39人，借数学课外书的有
32
人．语文、数学两种课外书都借的有
_________
人．
2
．< br>（
3
分）
有长
8
厘米，
宽
6
厘米的 长方形与边长为
5
厘米的正方形，
如图，
放在桌面上
（阴影是图形的 重叠部分）
，
那么这两个图形盖住桌面的面积是
_________
平方厘米．
3
．
（
3
分）在
1
～
100
的自然数中 ，是
5
的倍数或是
7
的倍数的数有
_________
个．
4
．< br>（
3
分）某区
100
个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的
75
人，既懂英语又懂俄语的
20
人，那么懂俄语的教
师为
_________
人．
5
．< br>（
3
分）六一班有学生
46
人，其中会骑自行车的
17
人，会游泳的
14
人，既会骑车又会游泳的
4
人，问两样都不
会的 有
_________
人．
6
．
（
3
分）在
1
至
10000
中不能被< br>5
或
7
整除的数共有
_________
个．
7
．
（
3
分）在1
至
10000
之间既不是完全平方数，也不是完全立方数的整数有
_________
个．
8
．< br>（
3
分）某班共有
30
名男生，其中
20
人参加足球 队，
12
人参加蓝球队，
10
人参加排球队．已知没一个人同时参
加
3
个队，且每人至少参加一个队，有
6
人既参加足球队又参加蓝球队，有2
人既参加蓝球队又参加排球队，那么
既参加足球队又参加排球队的有
_________
人．
9
．< br>（
3
分）分母是
1001
的最简真分数有
_________
个．
10
．
（
3
分）在
100
个学生中，音乐爱好者有
56
人 ，体育爱好者有
75
人，那么既爱好音乐，又爱好体育的人最少有
_________
人，最多有
_________
人．
二、解答题（共
4
小题，满分
0
分）
11
．某进修班有
50
人，开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有
38
人 ，选修乙这门课有的
35
人，选修丙这
门课的有
31
人，兼选甲、乙 两门课的有
29
人，兼选甲、丙两门课的有
28
人，兼选乙、丙两门课的有< br>26
人，甲、
乙、丙三科均选的有
24
人．问三科均未选的人数？
12
．求小于
1001
且与
1001< br>互质的所有自然数的和．
13
．如图所示，
A
、
B
、
C
分别代表面积为
8
、
9
、
11
的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是
18
，
且
A
与
B
，
B
与
C
，
C
与
A
公共部分的面积分别是
5
、
3
、
4
，求
A
、
B
、
C
三个图形公共部分（阴影部分）的面积．< br>
14
．分母是
385
的最简真分数有多少个，并求这些真分数的和．
2010
年六年级奥数题：容斥原理（
A
）
参考答案与试题解析
一、填空题（共
10
小 题，每小题
3
分，满分
30
分）
1
．
（
3
分）一个班有
45
个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文 或数学课外书．借语文课外书的有
39
人，借数学课外书的有
32
人．语文、 数学两种课外书都借的有
26
人．
考点
：
容斥原理．
分析：
从图中可 以看出全班
45
人，借语文或数学课外读物的共
39+32=71
（人），超过全班人数
71
﹣
45=26
（人）
，
进而得出这
26
人都借了语文、数学两种课外书．从而得出问题答案．
解答：
解：
39+32
﹣
45
，
=71
﹣
45
，
=26
（人）
；
答：语文、数学两种课外书都借的有
26
人．
故答案为：
26
．
点评：
此题解答的关键是先 算出借语文或数学课外读物的共有多少人，然后根据题意得出：超过全班的人数即都
借了语文、数学两种 课外书的人数．
2
．
（
3
分）有长
8
厘米，
宽
6
厘米的长方形与边长为
5
厘 米的正方形，
如图，
放在桌面上
（阴影是图形的重叠部分）
，
那么这 两个图形盖住桌面的面积是
67
平方厘米．
考点
：
重叠问题．
分析：
阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，这两个图形盖住桌面的面积就是长方形的面积和正方形
的面积和减去一个阴影部分的面积．
解答：
解：
（平方厘米）
．
答：这两个图形盖住桌面的面积是
67
平方厘米．
故答案为：
67
．
点评：
这是一道面积公式的应用，解题关键就是正确处理好阴影部分的面积．
3
．
（
3
分）在
1
～
100
的自 然数中，是
5
的倍数或是
7
的倍数的数有
32
个．
考点
：
找一个数的倍数的方法．
分析：
本题应列举出
5
的倍数有多少个，列举出
7
的倍数有多少个，然后相加即可．
解答：
解：在
1
到
100
这
100个自然数中，
5
的倍数有
20
个，
7
的倍数有
14
个，既是
5
的倍数又是
7
的倍数有
2
个，
故
5
的倍数或
7
的倍数的个数是：
20+14
﹣
2=32
．
故答案为：
32
．
点评：
此题用列举法，把符合条件的列出来，然后数一数，算一算即可得出结论．
4
．
（
3
分）某区
100
个外语教师懂 英语或俄语，其中懂英语的
75
人，既懂英语又懂俄语的
20
人，那么懂俄语 的教
师为
45
人．
考点
：
容斥原理．
分析：
从图中可 以看出：懂俄语的人数（即阴影部分）等于总人数减去只懂英语的人数，即
100
﹣（
75
﹣
20
）
=45
（人）
．
解答：
解：
100
﹣（
75
﹣
20
）
，
=45
（人）
；
答：么懂俄语的教师为
45
人．
故答案为：
45
．
点评：
此题应结合图形进行 分析，明确公共部分是既懂英语又懂俄语的
20
人，进而通过分析得出问题的答案．
5
．
（
3
分）六一班有学生
46人，其中会骑自行车的
17
人，会游泳的
14
人，既会骑车又会游泳的< br>4
人，问两样都不
会的有
19
人．
考点
：
容斥原理．
分析：
通过题意，结合画集合图形进行分析得出：两样都不好会的人数
=
全班人数﹣（会骑车人数< br>+
会游泳人数﹣
既会骑车又会游泳人数）
；进而列式解答得出答案．
．
解答：
解：
46
﹣（
17+14< br>﹣
4
）
=19
（人）
；
答：两样都不会的有
19
人．
故答案为：
19
．
点评：
此题做题时应认真审题，根据题意，结合图形进行分析，从而得出问题答案．
6
．
（
3
分）在
1
至
1000 0
中不能被
5
或
7
整除的数共有
6857
个．
考点
：
整除的性质及应用．
分析：
在
1
﹣
1 0000
中，能被
5
整除的有
10000
÷
5=2000< br>个，能被
7
整除的有
10000
÷
7
≈
14 28
个，能被
35
整除的有
10000
÷
35
≈< br>285
个．能被
5
或
7
整除的共有
2000+142 8+285=3143
个；不能被
5
或
7
整除的共有：
10 000
﹣
3143=6857
个．
解答：
解：
10000
÷
5=2000
（个）
；
10000
÷
7
≈
1428
（个）
；
10000
÷
35
≈
285
（个
）
；
被
5
或
7
整除的有
200 0+1428
﹣
285=3143
（个）
；
不能被
5
或
7
整除的共有：
10000
﹣
3143=6857< br>（个）
；
故答案为：
6857
．
点评：
此题属于考查
1
﹣
10000
不能被5
或
7
整除的共有多少个，先求出能被
5
或
7
整除的有多少个，再求不能被
5
或
7
整除的共有多少个．
7
．
（
3
分）在
1
至
1000 0
之间既不是完全平方数，也不是完全立方数的整数有
9883
个．