上海奥数精讲-第10讲讲义-容斥原理的应用-(学生)
余年寄山水
541次浏览
2021年01月22日 21:24
最佳经验
本文由作者推荐
-初中说明文范文
引入
容斥原理的应用
熟练运用容斥原理解决计数问题。
教
学
目
标
培养 学生分析问题、解决问题的能
力，锻炼思维的缜密性。
联系生活实际，
使学生学到有用的数
学。
在一些计数问题中，
经常遇到有关集合元
素个数的计算。求两个集合并集的元素的个< br>数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，
而要从两个集合个数之和中减去重复计算的
元素个数，即减去交集的元素个数，
如果被计数的事物有
A
、
B< br>、
C
三类，那么，
A
类或
B
类或
C
类元素个数
= A
类元素个数
+
B
类元素个数
+C
类元素个数
—
既是
A
类又是
B
类的元素个数
—< br>既是
A
类又是
C
类的元素
个数
—
既是
B
类又是
C
类的元素个数
+
既是
A
类又是
B
类而且是
C
类的元素个数。
内
容
概
述
教学过程
环节一：
森 林里，小动物们站成一排做早操，先从左到右报数，然后又从右到左
报数，两次报“
20
”的分别是小猴子和小老虎，他们之间有
10
个小动
物。小朋友们想一想，排队做操 的一共有几个小动物？
引入
环节二：
例
1
一次期末考试，某班有
15
人数学得满分，有
12< br>人语文得满分，并且有
4
人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少 人？
两个集合的容斥原理应用
（巩固拓展：五（
3
）班
36
个同 学在一次测验中，答对第一题的有
25
人，答对第二题的有
23
人，两题都答 对的有
15
人。问有几个同学两题都不对？
例
2
如图，
⑴
已知：∠
AOB=90
°，∠
COD=80
°。∠
COB=30
°，求∠
AOD
。
⑵
已知：∠
AOB=100
°，∠
COD=70
°，∠
AOD=135
°，求∠
COB
。
A
C
B
D
O
（巩固拓展： 如图，桌面上放有两本书，
A
的面积是
56
，
B
的面积是< br>48
，桌面面积是
200
，
书本未覆盖部分面积是
116
，求两本书重叠部分的面积。
）
A
B
例３
在
1
到
1000
的自然数中，
能被
3
或
5
整 除的数共有多少个？不能被
3
或
5
整除的数共有多少个？
多个集合的容斥原理应用
(
巩固练习
:
在前
1000
个自然数中，既不是平方数也不是立方数的自然数有多少个？
)
环节四：
例４
某个班的全体学 生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有
4
名学生在这三个项目上都没有达到优秀， 其余每人至少有一项达到了优
秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：
游泳
投掷
短跑、游泳
短跑、投掷
游泳、投掷
短跑、游泳、投掷
短跑
17
18
15
6
6
5
2
求这个班的学生共有多少人？