-八年级下册英语作文

2021年1月22日发(作者：国恩寺)





小
学
奥
数
之
容
斥
原
理

Revised on November 25, 2020


五．容斥原理问题

1
．

有
100
种赤 贫
.
其中含钙的有
68
种
,
含铁的有
43
种
,
那么
,
同时含钙和铁的食
品种类的最大值和最小值分别是
( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
解：根据容斥原理最小值
68+43-100
＝
11
最大值就是含铁的有
43
种


2
．在多元智能大 赛的决赛中只有三道题
.
已知
:(1)
某校
25
名学生参加 竞赛
,
每个
学生至少解出一道题
;(2)
在所有没有解出第一题的学 生中
,
解出第二题的人数是
解出第三题的人数的
2
倍
:(3 )
只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的
人数多
1
人
;( 4)
只解出一道题的学生中
,
有一半没有解出第一题
,
那么只解出第 二
题的学生人数是
( )
A
，
5 B
，
6 C
，
7 D
，
8
解：根据
“
每个人至少答出三题 中的一道题
”
可知答题情况分为
7
类：只答第
1
题，只答第
2
题，只答第
3
题，只答第
1
、
2
题，只 答第
1
、
3
题，只答
2
、
3
题，答
1
、
2
、
3
题。

分别设各类的人数为
a1
、
a2
、
a3
、
a12
、
a13、
a23
、
a123
由（
1
）知：
a1+a 2+a3+a12+a13+a23+a123
＝
25
…
①



由（
2
）知：
a2+a23
＝（
a3+ a23
）
×
2
……
②

由（
3
） 知：
a12+a13+a123
＝
a1
－
1
……
③

由（
4
）知：
a1
＝
a2+a3
……< br>④

再由
②
得
a23
＝
a2
－a3
×
2
……
⑤

再由
③④
得
a12+a13+a123
＝
a2+a3
－
1
⑥

然后将
④⑤⑥
代入
①
中，整理得到

a2
×
4+a3
＝
26
由于
a2
、
a3
均表示人数，可以求出它们的整数解：
< br>当
a2
＝
6
、
5
、
4
、
3
、
2
、
1
时，
a3
＝
2
、
6
、
10
、
14
、
18
、
22
又根据
a23
＝
a2
－
a3
×
2
……< br>⑤
可知：
a2>a3
因此，符合条件的只有
a2
＝
6
，
a3
＝
2
。

然后可以推出
a1＝
8
，
a12+a13+a123
＝
7
，
a2 3
＝
2
，总人数＝
8+6+2+7+2
＝
25
，检 验所有条件均符。

故只解出第二题的学生人数
a2
＝
6
人。




3
．一次考试共有
5
道试题。做对第
1
、
2
、
3
、、
4
、
5
题的分别占参加考 试人
数的
95%
、
80%
、
79%
、
74 %
、
85%
。如果做对三道或三道以上为合格，那么
这次考试的合格率至少是 多少

答案：及格率至少为
71
％。

假设一共有
100
人考试

100-95
＝
5
100-80
＝
20
100-79
＝
21
100-74
＝
26
100-85
＝
15
5+ 20+21+26+15
＝
87
（表示
5
题中有
1
题做错的最多人数）

87
÷
3
＝
29
（表示5
题中有
3
题做错的最多人数，即不及格的人数最多为
29
人）

100-29
＝
71
（及格的最少人数，其实都是全对的）

及格率至少为
71
％





六．抽屉原理、奇偶性问题

1
．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套 ，颜色有黑、红、蓝、黄四种，
问最少要摸出几只手套才能保证有
3
副同色的

解：可以把四种不同的颜色看成是
4
个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一
副同色的，就是
1
个抽屉里至少有
2
只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5
只
手套。这时拿出
1
副同色的后
4
个抽屉中还剩3
只手套。再根据抽屉原理，只
要再摸出
2
只手套，又能保证有一副手套 是同色的，以此类推。

把四种颜色看做
4
个抽屉，要保证有
3副同色的，先考虑保证有
1
副就要摸出
5
只手套。这时拿出
1< br>副同色的后，
4
个抽屉中还剩下
3
只手套。根据抽屉原
理，只 要再摸出
2
只手套，又能保证有
1
副是同色的。以此类推，要保证有
3
副同色的，共摸出的手套有：
5+2+2=9
（只）

答：最少要摸出
9
只手套，才能保证有
3
副同色的。


2
．有四种颜色的积木若干，每人可任取
1-2
件，至少有几个人 去取，才能保证
有
3
人能取得完全一样

答案为
21
解：

每人取
1
件时有
4
种不同的取法
,
每人取
2
件时
,
有
6
种不同的取法
.


当有
11
人时
,
能保证至少有
2人取得完全一样
:
当有
21
人时
,
才能保证到少有< br>3
人取得完全一样
.

3
．某盒子内装
50
只球，其中
10
只是红色，
10
只是绿色，
10
只是黄色 ，
10
只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有
7
只同 色的
球，问：最少必须从袋中取出多少只球

解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。

当黑球或白球其中没有大于或等于
7
个的，那么就是：

6*4+10+1=35(
个
)
如果黑球或白球其中有等于
7
个的，那么就是：

6*5+3+1
＝
34
（个）

如果黑球或白球其中有等于
8
个的，那么就是：

6*5+2+1
＝
33
如果黑球或白球其中有等于
9
个的，那么就是：

6*5+1+1
＝
32

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