【五年级容斥原理】数学练习题
别妄想泡我
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2021年01月22日 21:26
最佳经验
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-描写田园风光的作文
博易新思维数学——全国中小学数学培训课程领军品牌
较复杂的容斥原理
在一个明媚的春日里，
聪明美丽的公主迎来了她的二十岁生日。
国王 看着自
己的宝贝女儿，想：要选一个什么样的人才能配得上她，做她的驸马呢？于是，
国王在公 主的生日晚会上宣布，
要为公主选一位驸马。
所有人都知道公主要出嫁
了，各国的王子 纷纷派使臣来求婚。面对众多的求婚者，国王有些难以取舍。宰
相给他出了一个主意：驸马一定要文武双 全，我们可以向求婚者提出几个要求。
宰相看了礼部的统计发现，
求婚者一共有
35
个国家的王子，
其中有
25
人胸
怀治国方略，
28
人精通兵法，
33
人熟读诗书，
30
人武艺高强。
现在国王想知道，这
35
名王子中至少有多少人符合所有的要求。同学们能
告诉他吗？
解决这个问题 ，
就要用到
容斥原理。
在计数时，
为了使重叠部分不被重复计
算，< br>人们研究出一种新的计数方法：
先不考虑重叠的情况，
把包含于某内容中的
所有 对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去
，使得
计算的结果既无遗漏又 无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
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例
1
：
一次期末考试，某班有
15
人数学得满分 ，有
12
人语文得满分，并且有
4
人语、数都是满分，那么这个班至少有一门 得满分的同学有多少人？
“至少有一门得满分”
就是说只有语文一门得满分的、
只
有数学一门得满分的、语数双百的同学都是要求的人数
。
我们可以画个图来帮助理解
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容斥原 理（
1
）：
如果被计数的事物有
A
、
B
两
类，那么，
A
类或
B
类元素个数
= A
类元素个
数＋
B
类元素个数－既是
A
类又是< br>B
类的元素
个数。
有一根
180
厘米长的绳子，
从一端开始，
每
3
厘米作一记号，
每
4
厘米也作
一记号，然后将作有记号的地方剪断， 绳子共被剪成多少段？
例
2
：
五年级学生 在一次春游中每个人都带了饮料，其中有
51
人带了汽水，有
48
人带了可乐 ，有
32
人带了果汁，有
16
人带了汽水、可乐两种饮料，有
11< br>人
带了可乐、果汁两种饮料，有
13
人带了汽水、果汁两种饮料，另外还有7
人带
了汽水、可乐和果汁三种饮料。问五年级的学生有多少人？
由于“每个人都带了饮料”
，那么求“五年级的学生有多
少人”就是求至少带了一种饮料的人数
。
我们可以画个图来帮助理解
容斥原理（
2
）：
如果被计数的事物有
A、
B
、
C
三类，那么，
A
类或
B
类或
C
类元素
个数
=
A
类元素个数＋
B< br>类元素个数＋
C
类
元素个数—既是
A
类又是
B
类的元素个数
—既是
A
类又是
C
类的元素个数—既是
B< br>类又是
C
类的元素个数＋既是
A
类又是
B
类而且是< br>C
类的元素个数。
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五年级一班的学生都喜欢运动，
每人至少爱好一种球。
其 中爱好乒乓球的有
40
人，爱好足球的有
20
人，爱好排球的有
30
人，既爱好乒乓球又爱好排球的
有
18
人，既爱好足球又爱好乒乓球的有14
人，既爱好足球又爱好排球的有
12
人。三种球都爱好的有
8
人，那么这个班有多少人？
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例
3
：
六（
1
）班有学生
44
人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球
队的有
25
人，参加排球队的有
22
人，参加游泳队的有
3 4
人，足球、排球都参
加的有
12
人，足球、游泳都参加的有
18< br>人，排球、游泳都参加的有
14
人，问：
三项都参加的有多少人？
（二）
变形即可求出。
把容斥原理
朋朋正面图
某年级的课外兴趣小组共有
54
人，分数学、语文、外语三个小组，参加数
学兴趣小 组的有
23
人，参加语文兴趣小组的有
27
人，参加外语兴趣小组的有
18
人；其中同时参加数学、外语两个兴趣小组的有
7
人；同时参加语文、数学兴趣小组的有
4
人；
同时参加语文、
外语兴趣小组的有
5
人。
问其中三个小组都
参加的有多少人？
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例
4
：
某班的全体学生在进行了 短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有
4
名学
生在这三个项目上都没有达到优秀，< br>其余每人至少有一项达到了优秀，
达到了优
秀的这部分学生情况如下表：
求这个班的学生共有多少人？
程程正面图
先求出至少有一个优秀的人数，
再加上
没有达到优秀的人数。
< br>六年级
100
名学生中，
15
人既不会骑自行车也不会游泳，有
62
人会骑自行
车，
75
人会游泳。问既会自行车又会游泳的有多少人？< br>数学培训教材加盟合作
例
5:
边长分别为
10
厘米、
8
厘米和
4
厘米的三块正方 形纸片放在桌面上，
如图，
它们盖住的面积是多少平方厘米？
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在一个边长为
90
厘米的正方形桌面 上，放上两张边长分别为
20
厘米和
45
厘米的正方
形纸，如图。问 桌面上没被纸片盖住的面积是多少？
例
6
：
在一个炎热的 夏日，
10
个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。其中
6
人要了汽水，
6
人要了可乐，
4
人要了果汁，有
3
人既要了汽水又要了可乐，1
人既要了汽水又要了果汁，
2
人既要了可乐又要了果汁。问：只要一样的有几人 ？
六年级
100
名同学，
每人至少爱好体育、
文艺和科学三项中的一项。其中，爱好体育的< br>55
人，爱好文艺的
56
人，爱好科学的
51
人，三项都爱好 的
15
人，只爱好体育和科学的
4
人，只爱好体育和文艺的
17人。问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多
少人？
（接下来的题目有一定难度，如果课堂时间不够，可以留在 课下思考。）
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例
7< br>：
在
1
～
1000
的自然数中，是
3
的倍数 或是
5
的倍数共有多少个？不是
3
的
倍数或是
5
的 倍数共有多少个？
先求出
1
～
1000
中< br>3
的倍数有多少个，
当成
A
类元素
的个数；
再求出< br>5
的倍数有多少个，
当成
B
类；
最后
求出
3
和
5
的公倍数的个数，当成既是
A
类又是
B
类的元 素个数。然后用容斥原理（一）即可。
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在
1
～
1000
的自然数中，不能被
2
、
3
、
5
中任何一个整除的数有多少个？