运用容斥原理求组合图形的面积
巡山小妖精
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2021年01月22日 21:27
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运用容斥原理求组合图形的面积
谈到组合图形，
人们 很容易想到它是由几个基本图形通过拼接或
剪切而成的。
因而，
求组合图形的面积时往 往采用基本图形的面
积直接相加或相减的方法。
但是，
有些组合图形并不是通过基本< br>图形拼接或剪切而成的，而是由几个基本图形相互重叠得到的。
如果采用上述方法来求这类组合图 形的面积，
就会非常复杂，
而
运用容斥原理来求解会非常简便。
那么，
教师怎样引导学生运用
容斥原理求解组合图形的面积呢？
一、认真观察，辨明图形的特征
任何一种好的解题方法都有它的针对性，
运 用容斥原理求组合图
形的面积也有它的针对性。
因此，
教师要引导学生认真观察组合< br>图形，
辨明什么样的组合图形能用容斥原理来求解面积。
观察辨
明组合图形的特 征是运用容斥原理求解组合图形面积的前提。
教
学中，
我给予学生充足的时间观察组合 图形，
学生通过观察发现：
它是由几个基本图形通过重叠在某个基本图形上形成的，
而 要求
的面积往往是这几个基本图形比被重叠的基本图形面积多的部
分。
例如 ，
图
1
中的阴影部分如同
4
个小花瓣，
它是由一个正方形内
的
4
个直径与正方形边长相等的半圆重叠形成的图形。
图
2
中的
阴影部分是由分别以一个长方形的长和宽为半径的两个扇形
（■
圆）
重叠 的部分和大扇形比长方形多出的部分形成的图形。
像这
样通过重叠形成的组合图形，运用容斥原 理求解面积更简便。
■
图
1
图
2
二、动手操作，理解图形的成因
心理学研究表明 ，
小学生的思维是从具体形象思维逐步向抽象逻
辑思维过渡的，
他们的抽象逻辑思维还 不够成熟，
往往要借助直
观形象思维的帮助。
能够运用容斥原理求面积的这类组合图形 的
形成过程是比较抽象的，
学生很容易朝拼接或剪切的方向去思考
解题方法，
从而使得问题的求解变得更复杂。
只要学生弄清了这
类图形的成因，
自然就会运用容斥 原理来解题。
动手操作是非常
重要的学习方式，
通过动手操作，
学生可亲身体 验组合图形形成
的过程，
加深对图形的认识和理解，
有利于学生找到正确的解题
方法。
例如，
求解图
1
所示图形的阴影部分面积时，
教 师可先让学生在
一张薄纸的中央用虚线画一个边长为
10
厘米的正方形，然后以
正方形的每条边为直径向外画
4
个半圆（如图
3
）
，用剪刀沿实< br>线把图形剪下来，接着将每个半圆沿虚线向正方形内折，
4
个半
圆中每相邻的< br>2
个半圆都有一部分会重叠，
若把折好的图形对着
阳光或灯光一照，
就 会出现与图
1
一样的阴影部分图形，
从而得
知阴影部分的面积就是
4
个半圆比正方形多出部分的面积。
求解
图
2
阴影部分面积时，
教师也可让学生先在薄纸上画出并剪下如