小学五年级奥数第33讲 包含与排除(容斥原理)后附答案
巡山小妖精
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2021年01月22日 21:30
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第
33
讲
包含与排除（容斥原理）
一、专题简析：
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之
一。如某班全体学生可以看作是一个集合，
0
、
1
、
2、
3
、
4
、
5
、
6
、
7、
8
、
9
便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素 。如某
班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中
有
10
个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合
A
、
B
合并在一起，就组成了一个
新的集合
C
。计算集合
C
的元素 的个数的思考方法主要是包含与排除：先
把
A
、
B
的一切元素都“包 含”进来加在一起，再“排除”
A
、
B
两集合的
公共元素的个数，减 去加了两次的元素，即：
C=A
＋
B
－
AB
。
< br>在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量
关系的逻辑关系。有些语 言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得
很直观、很清楚，因而容易进行计算。
二、精讲精练
例
1
五年级
96
名学 生都订了报纸，有
64
人订了少年报，有
48
人订了小
学生报。两种 报纸都订的有多少人？
1
练
习
一
1
、一个班的
52
人都在做语文和数学作业。有
32
人做完了语 文作业，有
35
人做完了数学作业。语文、数学作业都做完的有多少人？
2
、五年级有
122
人参加语文、数学考试，每人至少 有一门功课得优。其中
语文得优的有
65
人，
数学得优的有
87人。
语文、
数学都得优的有多少人？
例
2
：
某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有
35
人懂 英语，
34
人懂日语，两种语言都懂的有
21
人。这个学校共有多少名教师？
练
习
二
1
、
某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。
已知有
900
人爱好体
育活动，有
850
人爱好文娱活动，其中260
人两种活动都爱好。这个学校
共有学生多少人？
2
2
、某班在一次测验中有
26
人语文获优 ，有
30
人数学获优，其中语文、数
学双优的有
12
人，
另 外还有
8
人语文、
数学均未获优。
这个班共有多少人？
例
3
：
学校开展课外活动，共有
250
人参加。其中参加象棋组和乒乓球组
的同学不同时活动，参加象棋组的有
83
人，参 加乒乓球组的有
86
人，这
两个小组都参加的有
25
人。问这
250
名同学中，象棋组、乒乓球组都不参
加的有多少人？
练
习
三
1
、
五年级有
250
人，
其中参加象棋组的有
83
人，
参加乒 乓球组的有
86
人，
这两个小组都参加的有
25
人。两个小组都不参 加的有多少人？
2
、五（
1
）班 有
50
人，在一次测试中，语文
90
分以上的有
30
人，数 学
90
分以上的
35
人，语文和数学都在
90
分以上的有< br>20
人。两科都在
90
分
以下的有多少人？
3
例
4
实验小学各年级都参 加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有
20
人获奖，在获奖者中有
16
人 不是四年级的，有
12
人不是五年级的。该校
书法比赛获奖的总人数是多少人？
练
习
四
< br>1
、五一小学举行小学生田径运动会，其中
24
名运动员不是六年级的，
28
名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有
32
名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？
2
、少年乐团 学生中有
170
人不是五年级的，有
135
人不是六年级的，已知
五 、六年级的共有
205
人，求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少
人？
例
5
在
100
个外语 教师中，懂英语的有
75
人，懂日语的有
45
人，其中
必然有既懂英 语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？
4
练
习
五
1
、
40
人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第
一题的有
30
人，做对第二题的有
21
人。只做对第一题的有多少人？
2
、五年级
122
名同学参加语文、数学考试，每人至 少有一门得优。已知语
文
65
人得优，数学
78
人得优，求只有语文 一门得优的人数。
三、课后作业
1、某班有
50
名学生，在一次测验中有
26
人满分，在第二次测验中有< br>21
人满分。如果两次测验都没得过满分的学生有
17
人，那么，两次测验都得
满分的有多少人？
2
、第一小组的同学们 都在做两道数学思考题，做对第一题的有
15
人，做
对第二题的有
10
人，两题都做对的有
7
人，两题都做错的有
2
人。第一小
5
组共有多少人？
3
、老师在统计考试成 绩，数学得
90
分以上的有
25
人，语文得
90
分以上的有
21
人，两科中至少有一科在
90
分以上的有
38
人。两科都在
90
分以
上的有多少人？
< br>4
、六一儿童狼子野心同学们做小花，有
24
朵不是红色的，有
20< br>朵不是黄
色的，已知红花和黄花一共有
18
朵，其他颜色的花一共做了多少朵？
5
、全班
46
名同学 ，仅会打乒乓球的有
28
人，会打乒乓球又会打羽毛球的
有
10
人，
不会打乒乓球又不会打羽毛球的有
6
人。
仅会打羽毛球的有多少
人？
第
33
周
包含与排除（容斥原理）答案解析
专题简析：
6 < br>集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看作
是一个集合，
0
、
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个
集合的元素。如某班全体学生组成一个集 合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有
10
个元素。
两个集合 中可以做加法运算，把两个集合
A
、
B
合并在一起，就组成了一个新的集合< br>C
。计算集合
C
的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把
A< br>、
B
的一切元素都“包含”进来加在一起，再
“排除”
A
、< br>B
两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：
C=A
＋
B< br>－
AB
。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题 意，搞清数量关系的逻辑关系。有些语
言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚， 因而容易进行计算。
例
1
五年级
96
名学生都订了报 纸，
有
64
人订了少年报，
有
48
人订了小学生报。两种报 纸都订的
有多少人？
分析
用左边 的圆表示订少年报的
64
人，右边的圆表示订小学报的
48
人，中间重叠部分 表示两种
报刊都订的人数。
显然，
两种报刊都订的人数被统计了两次：
64< br>＋
48=112
人，
比总人数多
112
－
96=16
人，这
16
人就是两种报刊都订的人数。
练
习
一
1
，一个班的
52
人都在做语 文和数学作业。有
32
人做完了语文作业，有
35
人做完了数学作业。语文、数学作业都做完的有多少人？
答案
解
:
(
人
)
答
:
语文、数学作业都做完的有
15
人
.
7
解析
因为每人至少做完一种作业
,
所以实际
52
人都参与了写作业
,
做完数学和语文作
业的总人数为
:
(
人
),
(
人
),
超出
了全班人数
,超出的部分是两种作业都完成的人数
.
2
，五年级有
122
人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。其中语文得优的有
65
人，数学得优的有
87
人。语文、数学都得优的有多少人？
答案
解
:
(
人
)
答
:
两门功课都得优的有
40
人
.
解析
根据
“
语文得优的有
65
人
,
数学得优的有
87
人
”
可得两者的总人
数
:
人
,
这其 中把两门功课都得优的人数多计算了一次
,
所以根据容斥原理可得两门功课都得优的人数是:
(
人
),
据
3
，某班有
50
名学生，
在一次测验中有
26
人满分，在第 二次测验中有
21
人满分。如果两次测验都没得过满分
的学生有
17
人，那么，两次测验都得满分的有多少人？
答案
设定每个页码用去三个数字第一页就 是
001.
这样估算大学
400
页
,
然后减去
1 --99
补的多余的
,
就知道了
,
我没纸笔没法计算
例
2
：某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有
35< br>人懂英语，
34
人懂日语，两种语言
都懂的有
21
人。这个学 校共有多少名教师？
分析
把懂英语和懂日语的人数加起来得
3 5
＋
34=69
人，但是，两种语言都懂的
21
人被统计过两
8