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2021年1月22日发(作者：镰刀)



在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计 算，人们研究
出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中< br>的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结
果既无遗 漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

原理一：

如果被计数的事物 有
A
、
B
两类，
那么，
A
类
B
类 元素个数总和
=
属于
A
类元素个数
+
属于
B< br>类元素个数
—
既是
A
类又是
B
类的元素个数。
（
A
∪
B = A+B -
A∩B)

原理二：

如果被计数的事物有
A
、
B
、
C
三类，那么，
A
类和
B
类和
C
类元素个数总和< br>= A
类元
素个数
+
B
类元素个数
+C
类 元素个数
—
既是
A
类又是
B
类的元素个数
—
既是
A
类又是
C
类的元素个数
—
既是
B
类又是
C
类的元素个数
+
既是
A
类又是
B
类而且是
C
类的元素个数。
（
A
∪
B
∪
C = A+B+C -
A∩B
-
B∩C
-
C∩A + A∩B∩C
）


两根完全相同的木条，各长
100
厘米， 将两
根木条中间钉在一起后成了一根长木条，中间钉在一起的重叠部分长
10
厘米，现 在这根长
木条的长度是多少？（思维潜能
P86
）（中环杯培训题）

解析：两根木条钉在一起，其中一根木条
10
厘米的部分将另一根木条
10
厘米的部分遮住
了，那么在统计总长时这遮住的
10
厘米需要扣除。

步骤：
100+100
－
10=190
（厘米）

难度系数：
A
折纸
小组
14
人
5
人书法
小组
12
人
既没参加书法小组，
又没参加折纸小组
某班共有
36
人，
参加书法小组的有
12
人，参加折纸小组的有14
人，有
5
人两个小组都参加。这个班既没
参加书法小组，也没参加折 纸小组的有多少人？（思维潜能
P86
）（中环杯培训题）

解析：图中长方 形的覆盖面积表示全班的人数，即
36
人。图中两个圆形分别表示折纸小组
的人数与书 法小组的人数，则两个圆圈的覆盖面积表示至少参加一个小组的总人数，其余
部分则表示即没有参加书法 小组也没有参加折纸小组的人数。

步骤：
12+14
－
5=21< br>（人）
36
－
21=15
（人）


植树节 某校除一年级外，其他四个年级共有
120
人参加了植树活动。其中二、三年级共有
5 3
人参加，三、四年级共有
66
人参加，二、
四年级共有
63
人参加。问：五年级有多少学生参加了植树活动？（思维潜能
P86
）（中环
杯培训 题）

解析：如果把
53
、
66
、
63
三 个数加起来我们不难看出其中二年级的人数被统计了两次，三
年级的人数被统计了两次，四年级的人数也 被统计了两次，所以（
53+66+63
）
÷
2=91
（人）
就是二、三、四年级的总人数。那么除一年级外，四个年级的总人数是
120
人，五年级的< br>人数就是
120
－
91=29
（人）

步骤：（
53+66+63
）
÷
2=91
（人）








120
－
91=29
（人）

难度系数：
B 一学校进行军训，某班同学排成一个方阵，
每横排人数一样多，每竖行人数也一样多，有一位同学站 的位置从前面数是第
4
人，从后
面数是第
6
人，
从左面数是 第
3
人，
从右面数是第
2
人，
这个班有多少人？
（ 思维潜能
P87
）
（中环杯培训题）

解析：从前面数是第
4
人，从后面数是第
6
人，这个同学在竖行里被数了
2
次，所以竖行
的人数是
4+6
－
1=9
（人）；从左面数是第
3
人，从右面数是第
2
人，这个同学在横排里也
被数了两次，所以横排人数是
3 +2
－
1=4
（人）。那么这个班的人数就有
9×
4=36
（人）

步骤：（
4+6
－
1
）
×
（3+2
－
1
）
=36
（人）

难度系数：
B
如图所示，
A
、
B
、
C< br>分别表示面积为
8
、
9
、
11
平方厘米的三张不同形 状的纸片，并且
A
与
B
、
B
与
C
、
A
与
C
的公共部分的面积分别
为
4
、
5
、
3
平方厘米，
A
、
B
、
C
三个图形的公 共部分面积是
2
平方厘米。求它们重叠在一
起盖住的面积是多少平方厘米？（奥林匹克
P148
）

C
A

解析：要求
A
、
B
、
C
三个图形重叠在一起的盖住面积，可分三步
计算：

3
8
A
第一步求出
A
、
B
、
C
的总面积，即
A+B+C
11
C
2
4
5
第二步从总面积里减去
A
与
B
、
B
与
C
、
A
与
C
的重叠部分的面积，
9
即
A+B+C－
AB
－
BC
－
AC
B
图中
A、
B
、
C
三个图形重叠部分的面积
ABC
，在第一步计 算时重
复三次，
在第二步计算时又刚好被减去三次，
因此要补上一块
ABC< br>，
才是所求的三个图形盖住的面积。

所以第三步应该是把前两步计算的结果再 加上
ABC
，才是要求的三个图形重叠在一起盖住
的面积（用
N
来表 示）

即
N= A+B+C -
A∩B
-
B∩C
-
C∩A + A∩B∩C


步骤：
8+9+11－
4
－
5
－
3+2=18
（平方厘米）

难度系数：
A
B
如下图，有边长
2
厘米、
4厘米、
5
厘米的
三个正方形，叠放在桌面上，它们盖住的总面积是多少？（奥林匹 克
P154
）

5
1
1
2
2
1
1
4

答 案：
5×
5+4×
4+2×
2
－
2×
2
－
2×
1
－
2×
1+1×
1=38
（平方厘米）
难度系数：
B
四年级课外学科活动分为数学、语文、外语
三个小组， 参加数学小组的有
23
人，参加语文小组的有
27
人，参加外语小组的有18
人，
同时参加数学、语文小组的有
4
人，同时参加语文、外语小组的 有
5
人，同时参加数学、
外语小组的有
7
人，三个小组都参加的有< br>2
人。问这个年级参加课外小组的共有多少人？

解析：根据题意，画出维恩图。

数学
23
人
从图中可以看出，这道题可以直接利用公式计算：
步骤：
23+27+18
－
4
－
5
－
7+2= 54
（人）

4
人
7
人
2
人
难度系数：
A
语文
英语
27
人
18
人

5
人

某班学生在一次共出了三道题的数学测验
中，结果做对第1
题的有
38
人，做对第
2
题的有
41
人，做 对第
3
题的有
27
人，同时做对
第
1
、
2
题的有
32
人，做对
2
、
3
题的有
20< br>人，做对第
1
、
3
题的有
21
人，全对的有
17
人，
没有全错的。问全班共有多少人？

解析：根据题意，画出维恩图。

步骤：
38+41+27
－
32
－
21
－
20+17=50
（人）

第1
题
38
人
32
人
17
人
第
2
题
41
人
20
人
第
3
题
27< br>人
21
人

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