新定义与阅读理解题类型三新解题方法型针-中考数学题型训练
余年寄山水
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2021年01月23日 04:56
最佳经验
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-长藤挂铜铃
第二部分
题型研究
题型四
新定义与阅读理解题
类型三
新解题方法型
针对演练
1.
求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，
中 国古代数学专著
《九章算术》
中
便记载了求两个正整数最大公数最大公约数
的 一种方法——更相减损术，术曰：
“可半者
半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更 相减损，求其等也．以等数约之”，
意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的 数，得到差，然后用
减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差
(
或减数
)
即为
这两个正整数的最大公约数．
例如：求
91
与
56
的最大公约数
解：
91
－
56
＝
35
56
－
35
＝
21
35
－
21
＝
14
21
－
1
4
＝
7
14
－
7
＝
7
所以，
91
与
56
的最大公约数是
7.
请用以上方法解决下列问题：
(1)
求
108
与
45
的最大公约数；
(2)
求三个数
78
、
104
、
143
的最大公约 数．
2. (2017
青岛节选
)
数和形是数学的两个 主要研究对象，我们经常运用数形结合、数
形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形 ，以形助数”的方法在解决
代数问题中的应用．
探究：求不等式
|
x
－
1|< 2
的解集
(1)
探究
|
x
－
1|
的几何意义
如图①，在以
O
为原点的数轴上，设点
A′
对应的数是
x
－
1
，由绝对值的定义可知，
点
A′
与点
O
的距 离为
|
x
－
1|
，可记为
A′O
＝
|x
－
1|.
将线段
A′O
向右平移
1
个单位得 到
线段
AB
，此时点
A
对应的数是
x
，点
B
对应的数是
1.
因
为
AB
＝
A′O
，所 以
AB
＝
|
x
－
1|.
因此，
|
x
－
1|
的几何意义可以理解为数轴上
x
所对应的点
A与
1
所对应的点
B
之间的距离
AB
.
第
2
题图
(2)
求方程
|
x
－
1|
＝
2
的解
因为数轴上
3
和－1
所对应的点与
1
所对应的点之间的距离都为
2
，
所以 方程的解为
3
，
－
1.
(3)
求不等式
|
x
－
1|<2
的解集
因为
|
x
－
1|
表示数轴上
x
所对应的点 与
1
所对应的点之间的距
离，
所以求不等式解集
就转化为求这个距离 小于
2
的点对应的数
x
的范围．
请在图②的数轴上表示< br>|
x
－
1|<2
的解集，并写出这个解集．
3.
(
浙教八下第
47
页阅读材料改编
)
古希腊数学家丢番图< br>(
公元
250
年前后
)
在
《算术》
中提到了 一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图
解等方法来求解．在欧几 里得的《几何原本》中，形如
x
＋
ax
＝
b
(
a< br>＞
0
，
b
＞
0)
的方
程的
2
2
图解法是：如图，以
和
b
为两直角边作
Rt
△
ABC
，再在斜边上截取
BD
＝
，则
AD
的长就
a
2
a
2
是所求方程的解．
(1)
请用含字母a
、
b
的代数式表示
AD
的长．
(2)
请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．
第
3
题图
4.
请你阅 读引例及其分析解答，
希望能给你以启示，
然后完成对探究一和探究二的解
答．
引例：设
a
，
b
，
c
为非负实数，求证：a
＋
b
＋
b
＋
c
＋
c
＋a
≥
2(
a
＋
b
＋
c
)
，< br>
分析：考虑不等式中各式的几何意义
，我们可以试构造一个边长为
a
＋
b
＋
c
的正方形
来研究．
解：如图①，设正< br>方形的边长为
a
＋
b
＋
c
，
则< br>AB
＝
a
＋
b
，
BC
＝
b
＋
c
，
CD
＝
a
＋
c
，
显然
AB
＋
BC
＋
CD
≥
AD
，
∴
a
＋
b
＋
b
＋
c
＋
c
＋
a
≥
2(
a
＋
b
＋
c)
．
探究一：已知两个正数
x
，
y
，满足< br>x
＋
y
＝
12
，求
x
＋
4
＋
y
＋
9
的最小值
(
图②仅供
参考
)；
探究二：若
a
，
b
为
正数，求以
a
＋
b
，
4a
＋
b
，
a
＋
4b
为
边的三角形的面积．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
第
4
题图
答案
1.
解：
(1)108
－
45
＝
63
63
－
45
＝
18
45
－
18
＝
27
27
－
18
＝
9