-红楼梦读后感600字

2021年1月23日发(作者：最爱中国字)

小学数学《数列规律》练习题（含答案）


日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：

（
1
）自然数：
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，… （
1
）

（2
）年份：
1990
，
1991
，
1992
，
1993
，
1994
，
1995
，
1996 < br>（
3
）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）
45< br>，
45
，
44
，
46
，
45
像 上面的这些例子，
按一定次序排列的一列数就叫做数列．
数列中的每一个数都叫做这个数列的项 ，
其中第
1
个数称为这个数列的第
1
项，第
2
个数 称为第
2
项，…，第
n
个数就称为第
n
项．如数列（
3
）
中，第
1
项是
45
，第
2
项也是< br>45
，第
3
项是
44
，第
4
项是
4 6
，第
5
项是
45
．

根据数列中项的个数分类， 我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项
数无限的数列（即有无穷多个项的 数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（
2
）（
3
）是有穷数列，
（
1
）是无穷数列．


（一）

找数列中的规律


【例
1
】

观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数
.
(1)

100
，
88
，
76
，
64
，
52
，（

），
28
(2)
< br>1
，
3
，
6
，
10
，（），
21< br>，
28
，
36
，（）

(3)

2
，
1
，
3
，
4
，
7
，
（

）
，
18
，
29
，
47
(4)

1
，
3
，
9
，
27，（），
243
(5)

1
，
8
，
27
，
64
，
125
，（

），
343

(6)

1
，
2
，
6
，
24
，
120
，（），
5040
(7)

2
，
1
，
4
，
3
，
6
，
9
，
8
，
27
，
10
，（

）

(8)

1
，
1
，
1
，
3
，
5
，
9
，
1 7
，
（）


分析：（
1
）
100，
88
，
76
，
64
，
52
，（
），
28
通过观察不难发现，从第
2
项开始，每一项都比它 前面一项少
12
，也就是说每相邻两项所得的差都
等于
12.
因此， 括号中应填的数是
40
，即：
52-12=40
．

像（
1
）这样，相邻两项之间的差是定值，我们把这样的数列叫做等差数列．



（
2
）
1
，
3
，
6
，
10
，（），
21
，
28
，
36，（）

（方法一）先计算相邻两数的差，有：
3-1=2
，
6 -3=3
，
10-6=4
，……，
28-21=7
，
36-28=8
，……

由此可以推知这些差一次为
2
、
3
、
4
、
5、
6
……

，所以这列数从小到大地排列规律是相邻两数的差
按
2
、
3
、
4
、
5
、
6
… …增加，括号里应填
15
，
45
，即
10+5=15
，36+9=45.
(
方法二
)
继续考察相邻项之间的关系，可以发现：

< br>因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第
5
项为
15
，
即
15=10+5
，最后一项即第
9
项为
45
，即
45
＝
36
＋
9.
代入验算，正确．

（方法三< br>)
这一列数还有如下的规律：
第
1
项：
1=1,
第< br>2
项：
3=1
＋
2,
第
3
项：
6= 1+2+3,
第
4
项：
10=1+2+3+4,
第
6
项：
21=1+2+3+4+5+6,
……

即这个数列的规律是：每一项都等于从
1
开始，以其项数为最大数的
n
个连续 自然数的和
.
因此，
第
5
项为
15
，即：
15=1+2+3+4+5
；第
9
项为
45
，即：
45=1 +2+3+4+5+6+7+8+9
．



（
3
）
2
，
1
，
3
，
4
，
7
，
（

）
，
18
，
29
，
47
这个数列即不是 等差数列，也不是等比数列，但是可以发现，从第三项开始每一项都等于前面两项
地和，即：
3 =1+2
，
4=1+3
，
7=3+4
，……，
47=18+ 29
，所以括号中的数应该是：
4+7=11

（
4
）
1
，
3
，
9
，
27
，（），
243 此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第
2
项开始，每一项都是其前面一项 的
3
倍
.
即：
3=1×3，
9=
3×3，

27=9×3，
也就是说相邻两项之间的商相等．
因此，
括号中应填
81
，
即

81=
27×3，
代入后，
243
也符合规律，即
243
＝81×3．

像（
4
）这样，相邻两项之间的商是定值，我们把这样的数列叫做等比数列．



（
5
）
1
，
8
，
2 7
，
64
，
125
，（

），
343

通过观察可以发现：
1=1
×
1
×
1
，
8=2
×
2
×
2
，
27=3
×
3
×
3
，
64=4
×
4
×
4
，< br>125=5
×
5
×
5
，
343=7
×
7
×
7
，
根据这个规律，括号中应填：
6
×
6< br>×
6=216
我们把这样的数列叫做立方数列，即每一项等于其项数乘以项数再乘以项数
.
< br>（
6
）
1
，
2
，
6
，
24
，
120
，（），
5040
（方法一）这个数列不同于上面的数列 ，相邻项相加减后，看不出任何规律
.
考虑到等比数列，我们不妨
研究相邻项的商，显 然：




所以，这个数列的规律是：除第
1
项 以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积
.
因此，括号
中的数为第
6项
720
，即

720=120×6．

（方法二）本题也可以考虑连续自然数，显然：第
1
项
1=1
，第
2
项

2=1×2，第
3
项

6=1×2×3，第
4
项

24=1×2×3×4，……，所以，第
6
项应为

1×2×3×4×5×6=720


（
7
）
2
，
1
，
4
，
3
，
6
，
9
，
8
，
27
，
10
，（

）。

分析：通过观察发现，前面的方法都不适用于这个 数列，但是如果隔着看这个数列中的一些数是非
常有规律的，如：
3
，
8，
13
，
18
，而他们恰好是第一项、第三项、第五项、第七项，所以不 妨把数列分
为奇数项（即第
1
，
3
，
5
，
7
，
9
项）和偶数项（即第
2
，
4
，
6< br>，
8
项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重
新分组排列如下：把数列分为奇、偶 项：

偶数项：
2
，
4
，
6
，
8
，
10
奇数项：
1
，
3
，
9
，
27
，（

）
.
所以，偶数项为等差数列，奇数项为等比 数列，括号中应填
81
（
81=27
×
3
）
. < br>像这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两个系列的规律各不相同，类似这样的数列，称为
双系列数列或双重数列
.

(8) 1
，
1
，
1
，
3
，
5
，
9
，
17
，
（）

可以发现，
3=1+1+1
，
5=1+1+3
，
9=1+3+5
，从第四个数起，每一个数都等于前三个数的和，可知需
填补的数字为 ：
5+9+17=31
，
9+17+31=57
本题考虑的是相邻四 个数的直接关系，
这一类题都是考虑后面一个数字与前面几个数字地共同关系，
由于前面几个数 字可以进行的运算方式有很多，所以这种题型的变化方式也很多．



【例
2
】

观察下面的数列，
找出其中的规律，
并 根据规律，
在括号中填上合适的数
.
（
1
）
4
＋
2
，
5
＋
8
，
6
＋
14
，
7
＋
20
，（

），……

（
2
）（
1
，
2
，
100
），（
2
，
4
，
90
），（
3
，
8
，< br>80
），（
4
，
16
，
70
），（

）

（
3
）
1
×
3
，
2
×
2
，
1
×
1
，
2
×
3
，
1
×
2
，
2
×
1
，
1
×
3
，（



）


分析：（
1
）
4
＋
2
，
5
＋
8< br>，
6
＋
14
，
7
＋
20
，（

），……

这排加法算式，前面一个数构成数列：
4
，
5
，
6
，
7
，……；后一个数构成数列：
2
，
8
，
14
，
20
，……．

对于数列
4
，
5
，
6
，
7
，……，由观察得知，第
2
项等于第
1
项加上
1
，第
3
项等于第< br>1
项加上
2
，
第
4
项等于第
1
项加 上
3
，……，所以第
5
项等于第
1
项加上
4
，即

4
＋
4
＝
8
．

同理， 数列：
2
，
8
，
14
，
20
，……，第< br>2
项等于第
1
项加上
1
×
6
，第
3
项等于第
1
项加上
2
×
6
，第
4
项等于第
1
项加上
3
×
6
，……，所以第
5
项等于第
1
项加上
4
×
6
，即
2
＋4
×
6
＝
26
．

所以，
括号里应填
8+26
．



（
2
）（
1
，
2
，
100
），（
2
，
4
，
90
），（
3
，
8
，< br>80
），（
4
，
16
，
70
），（

）

观察这个数列中每一组中对应位置上的数字，可以得到如下规律：
每组第一个是
1
、
2
、
3
、
4
、......
这是一个自然数列，

第二个是
2
、
4< br>、
8
、
16
、
......
，这是一个等比数列，< br>
第三个
100
、
90
、
80
、
7 0......
，这是一个递减的等差数列；

所以，第
5
组中的数 应该是：
5
，
16
×
2
，
70-10
，即 第五组的括号中应填（
5
，
32
，
60
）．


（
3
）
1
×
3
，
2
×
2
，
1
×
1
，
2
×
3
，
1
×
2
，
2
×
1
，
1
×
3
，（


）

这是一排乘法算式，观察可以发 现，前面一个数的规律是：
1
，
2
，
1
，
2
，
1
，
2
，
1
……；后一个数的
规律是：
3
，
2
，
1
，
3
，
2
，
1
，
3
，……，对于第一个数列，是由
1
、
2
两 个数字循环组成的，所以第八项
应为
2
；对于第二个数列，是由
3
、
2
、
1
循环组成的，所以第八项的第二个数字应为
2
．所以 ，括号里应
填
2
×
2
．



【例
3
】

建筑工人将一堆木头堆成如图的形状，
你知道如 果按这样的方法堆木头，
一共堆
15
层的话，第
15
层有多少根？< br>

分析：通过观察这堆木头可以发现，最上面的一层有
1
根木头， 第二层有
2
根，
第三层有
3
根，第四层有
4
根，… …我们可以将这道题转化一下
,
有一组数：
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，……问第十五层有多少根，也 就是求这组数中第十五个数是什
么，通过我们刚刚学过的我们知道，这是一个等差数列，第十五项为15
，也就是第十五层有
15
根木头．


[
拓展
]
小海喜欢收集小木棒，并将它们按下图的形状摆放在书桌上，最底下一层
小海摆 放了
27
根小木棍，接着摆放了
26
根，以此类推，到最后小海发现最上面< br>一层只放了
3
根小木棒后就没有了，你知道小海一共收集了多少根小木棒吗？


分析：通过读题我们知道，小海的这堆小木棒摆放有一定的规律：第一层：
3
，第
二层：
4
，第三层：
5
，第四层：
6
，…… ，最后一层：
27
，通过观察可以得出，这一列数构成等差数列，
问小海一共有多少小 木棒，也就是将每层小木棒的数目加起来的和，即：
3+4+5+6+7+8+9+10+11+
…
+25+26+27
＝（
27+3
）
+
（
26 +4
）
+
……
+
（
16+14
）
+15< br>＝
30
×
12+15
＝
375
，所以，小海一共收集 了
375
根
小木棒．



【例
4
】

下面的各算式是按规律排列的：

1
＋
1
，
2
＋
3
，
3
＋
5
，
4
＋
7
，
1
＋
9
，
2
＋
11
，
3
＋
13
，
4
＋
15
，
1
＋
17
，……，

那么其中第多少个算式的结果
是
2008
？


分析：先找出规律：

每个式子由
2
个数相加，第一个数是
1
、
2
、
3
、
4
的循环，第二个数是从
1
开始的
连续奇数．

因为
2008
是偶数，
2个加数中第二个一定是奇数，
所以第一个必为奇数，
所以是
1
或
3
，

如
果是
1
：那么第二个数为
2008
－
1=2007
，
2007
是第（
2007+1
）÷2=
1004
项，而数字
1
始终是奇数项，两
者不符，

所以这个算式是
3+2005=2008
，是（
2005
＋
1）÷2=
1003
个算式．


[
拓展
]观察下面的算式：
4
×
2
，
5
×
4
，
6
×
6
，
4
×
8
，
5
×
10
，
6
×
12
，
4
×
14，
5
×
16
，……其中第多少个
算式的结果是
2008
？


分析：
每个式子都是两个数相乘，
第一个数是
4
、
5
、
6
的循环，
第二个数是从
2
开 始的连续偶数
.
因为
2008
只能被
4
整除，所以第一个数 只能是
4
，
2008
÷
4=502
，所以第二个数是
502
，
502
是第
502
÷
2=251
项，< br>所以
2008
是第
251
个算式的结果
.

（二）特殊数列中的规律

【例
5
】

仔细观察下面的数表，找出规律，然后补填出空缺的数字．

（
1
）

6
39
3
（
2
）

8
4
2
57
9
6
4
？
5
7
？
519

2
8
6
5
6
7
4
911
18
20
10
（）
10
12

分 析：
（
1
）通过观察前两个三角形中的数，可以发现：
39=
（3+4+6
）×
3
，
57=
（
2+8+9
）×
3
，即中间数
=
周围三数之和×3，所以第三个三角形最中间的数应为：< br>（
5+6+4
）×
3=45
，最后一个三角形中要填地数为
5 1
÷
3-
（
7+9
）
=1.
（
2
）这个数表的规律是：第二行的数等于相应的第三行的数与第一行的数的差的
2
倍
.
即：8=2×
（
6
—
2
）
，
10
＝2×（
10
—
5
）
，4=2×（
9
—
7
）
，18=2×（
20
—
11
）
.
因此， 括号内填
12.

[
拓展
]
表
1
、表< br>2
是按同一规律排列的两个方格表
.
那么表
2
方
格中 应填的数是多少？


分析：从表
1
的行与列两个方面寻找填数的规 律，从
24=4
×
6
可得，第一行最左边的数等于其余两数的
乘积， 第一列最上面的数等于其余两数的乘积；从
4=2+2
，
6=2+4
可得，第 二行最左边的数等于其余两数
的和，第二列最上面的数等于其余两数的和；从
6=4+2
，
4=2+2
可得，第三行、第三列的规律与第二行、
第二列相同，根据这一规律， 可得“？”处应填
3
（
5-2=3
）
.


a
【例
6
】

右图中各个数之间存在着某种关系．请按照这 一关系求出数
a
和
b
．

20
16
17
10
分析：图中
5
个圆、
10
个数字，其中
5
个数字是只属于某一个圆本身的，
5
个
b
15
数字是每 两个圆相重叠的公共区域的，观察发现：
10+20
＝
15
×
2，
20+40
＝
30
30
×
2
，
也就 是说两圆重叠部分的公共区域的数字
2
倍，
正好等于两圆独有数字之
2040
和，
所以，
a=2
×
17-10=24
，
b=
（
16+40
）
÷
2=28
．
最后验算一下：
20
×
2-16=24
，
符合．


[< br>拓展
]
下图中各个数之间存在着某种关系．请按照这一关系求出数
a
和
b

分析：
仔细观察图形，
圆内一个五角星，
将圆分成< br>11
块，
观察发现，
42+6+12=60=20
×
3
，

33+6+21=60=20
×
3
，从而得出规律，
a=
（
12+6+21
）÷
3=13
，
b=16
×
3-
（
33+6
）
=9
，
代入验算，

6+9+42=57=19
×
3.


【例
7
】

先观察下面各算式，再按规律填数．

（
1
）
1
×
9+2=11
（
2
）
21
×
9=189
12
×
9+3=111 321
×
9=2889
123
×
9+4=1111 4321
×
9=38889
12345
×
9+6=_________ 54321
×
9=
（

）

1234567
×
9+____=___________ 654321
×
9=
（

）


分析：（
1
）在这一组算式中，得数都是由若干个“
1
”组成的．
1
的个数恰好是后面的加数．如
1
×
9+2
，
后面的加数是
2
，
结果中也就有
2
个
1
．
根据这一规律，
12345
×
9+6
的结果是由
6
个
1
组成，即
111111
．
最
后一个算式应当是
1234567
×
9+8=11111111
．



（
2
）通过观察可以看出这是一组排列有序的数字“梯田”，一层一层有规律的向下延伸．乘号前
面是21
、
321
、
4321
，乘号后面都是
9
， 相乘的答案的最高位分别是
1
、
2
、
3
，而位数分别是三位 数、四
位数、五位数．由此可得：
54321
×
9
的最高位是
4
，位数是
5+1
＝
6
，个位上都是
9
，其余各 位都是
8
；
654321
×
9
的最高位是
5
，个位是
9
，其余各位都是
8
，位数是
6+1
＝
7
．

所以，
54321
×
9=488889
，< br>654321
×
9=5888889
．


（三）

数阵中数列的规律


【例
8
】

用数字摆成右面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：

(1)

这个三角阵的排列有何规律？

(2)

根据找出的规律写出三角阵的第
6
行、第
7
行．

(3)

推断第
10
行的各数之和是多少？

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