小学四年级数学高斯求和讲解
余年寄山水
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2021年01月23日 05:26
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-歌颂祖国的诗词
第
3
讲
高斯求和
德国著 名数学家高斯幼年时代聪明过人，
上学时，
有一天老师出了一
道题让同学们计算：
1
＋
2
＋
3
＋
4＋…＋
99
＋
100
＝？
老师 出完题后，
全班同学都在埋头计算，
小高斯却很快算出答案等于
5050
。高 斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1
＋
100
＝
2
＋
99
＝
3
＋
98
＝…＝
49
＋
52
＝
50
＋
51
。
1
～
100
正好可以分成这样的
50
对数，每对数的和都相等。于是，小
高斯把这道题巧算为
（
1+100
）×
100
÷
2
＝
5050
。
小高斯使用的这种求和方法，
真是聪明极了，简单快捷，
并且广泛地
适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为
数列
，
数列中的每一个数称为一项，
其中第一
项称为
首项
，
最后一项称为
末项
。
后项与前项之差 都相等的数列称为
等差
数列
，后项与前项之差称为
公差
。例如：
（
1
）
1
，
2
，3
，
4
，
5
，…，
100
；
（
2
）
1
，
3
，
5
，
7
，
9
，…，
99
；
（
3
）
8
，
15
，
22
，
29
，
36
，…，
71
。
其中（
1
）是首项为
1
，末项为
100
，公差为
1
的等差数列；（
2
）是
首项为
1
，末项 为
99
，公差为
2
的等差数列；（
3
）是首项为
8
，末项为
71
，公差为
7
的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到
等差数列的求和公式
：
和
=
（首项
+
末项）×项数÷
2
。
例
1
1
＋
2
＋
3
＋…＋
1999
＝？
分析与解
：这串加数
1
，
2
，
3
，…，< br>1999
是等差数列，首项是
1
，末项是
1999
，共有1999
个数。由等差数列求和公式可得
原式
=
（
1
＋
1999
）×
1999
÷
2
＝
1999000
。
注意：
利用等差数列 求和公式之前，
一定要判断题目中的各个加数是
否构成等差数列。
例
2
11
＋
12
＋
13
＋…＋
31
＝？
分析与解
：这串加数
11
，
12
，
13
，…，
31
是等差数列，首项是
11
，末项
是
31
，共有
31-11
＋
1
＝
21
（ 项）。
原式
=
（
11+31
）×< br>21
÷
2=441
。
在利用等差数列 求和公式时，
有时项数并不是一目了然的，
这时就需
要先求出项数。根据首项、末项、 公差的关系，可以得到
项数
=
（末项
-
首项）÷公差
+1
，
< br>末项
=
首项
+
公差×（项数
-1
）
。
例
3
3
＋
7
＋
11
＋…＋
99
＝？
分析与解
：
3
，
7
，
11
，…，
99
是公差为
4
的等差数列，
项数
=
（
99
－
3
）÷
4
＋
1
＝25
，
原式
=
（
3
＋
99
）×
25
÷
2
＝
1275
。
例
4
求首项是
25
，公差是
3
的等差数列的前< br>40
项的和。
解
：末项
=25
＋
3
×（
40-1
）＝
142
，
和< br>=
（
25
＋
142
）×
40
÷
2< br>＝
3340
。
利用等差数列求和公式及求项数 和末项的公式，
可以解决各种与等差
数列求和有关的问题。
例
5
在下图中，每个最小的等边三角形的面积是
12
厘米
2
，边长是1
根
火柴棍。问：
（
1
）最大三角形的面积是多少平方厘米？（
2
）整个图形由
多少根火柴棍摆成？