小学3年级 数列求和 (附带完整答案)
余年寄山水
643次浏览
2021年01月23日 05:26
最佳经验
本文由作者推荐
-假期作文
第二讲
数列求和
知识导航
德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元
1777
年
-1855
年）
。他上小学的时候，老师出了一个题目，
1+2+…+99+100
＝？小高斯看了看，又想了想，很快说出结果是
5050
。 同学们，你们知道他是怎么算出来
的吗？
原来小高斯在认真审题的基础上，发现题目 的特点。像高斯的老师所出的题目那样，按一定次序排列
的一列数叫做数列。数列中的数称为项，第一个 数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后
一个数叫末项。如果一个数列从第二项开始，每 一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。
后项与前项的差叫做这个数列的公差。
如：
1
，
2
，
3
，
4
，
…
是等差数列，公差为
1
；
2< br>，
4
，
6
，
8
，
…
是等差数列，公 差为
2
；
5
，
10
，15
，
20
，
…
是等差数列，公差为
5
。
进一步，小高斯发现了这样的关系：
1+100
＝
101< br>，
2
＋
99
＝
101
，
3
＋
98
＝
101
，
…
，
50
＋
51
＝
101
。一
共有多少个
101
呢？
100
个数 ，每两个数是一对，共有
50
个
101
。
所以：
1
＋
2
＋
3
＋
…
＋
98+99+100
＝
101×
50
即，
和
= (10 0
＋
1)×
(100÷
2)
＝
101×
50
＝
5050
这道题目，我们还可以这样理解：
即，和
= (100
＋
1)×
100÷
2
＝
101×
50
＝
5050
由高斯的巧算可得出等差数列的求和公式：
总和＝
(
首项
+
末项
)×
项数
÷
2
这样，由于高斯发现了巧算的方法，所以他最先得出了正确的答案。因此，同学们要想算得正确、迅速，方法合理、灵活，不仅要掌握数与运算的定律、性质，而且要善于观察，认真审题，注意发现题目的特点。
/?userid=1787958560
1
例题精讲
【例
1
】
找找下面的数列有多少项？
（
1
）
2
、
4
、
6
、
8
、……、
86
、
98
、
100
（
2
）
3
、
4
、
5
、
6
、……、
76
、< br>77
、
78
（
3
）
4
、
7
、
10
、
13
、……、
40
、
43
、< br>46
（
4
）
2
、
6
、
10
、
14
、
18
、……、
82
、
86
分析：
（
1
）我们都知道：
1
、
2
、3
、
4
、
5
、
6
、
7
、8
、……、
95
、
96
、
97
、
98
、
99
、
100
这个数列是
100
项，
现在不妨这样去看：
（
1
、
2
）
、
（
3< br>、
4
）
、
（
5
、
6
）
、< br>（
7
、
8
）
、……、
（
95
、96
）
、
（
97
、
98
）
、
（
99
、
100
）
，让它
们两两一结合，
奇数在每 一组的第
1
位，
偶数在第
2
位，
而且每组里偶数比奇数大，
小朋友们一看就知道，
共有
10
0
÷
2=50
组， 每组把偶数找出来，那么原数列就有
50
项了。
（
2< br>）连续的自然数列，
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
、
10
……
< br>，对应的是这个数列的第
1
、
2
、
3
、
4< br>、
5
、
6
、
7
、
8
、……
，发现它的项数比对应数字小
2
，所以
78
是第
76
项，那么这个数列就有
76
项。对于连续的自
然数列，它们的项数是：末项
—
首项
+ 1
。
（< br>3
）配组：
（
4
、
5
、
6
）
、
（
7
、
8
、
9
）
、
（
10
、
11
、
12
）
、
（
13
、
14
、
15
）
、……、
（
46
、
47
、
48
）
，注意等差是
3
，
那么每组有< br>3
个数，
我们数列中的数都在每组的第
1
位，
所以
4 6
应在最后一组第
1
位，
4
到
48
有
48 -4+1=45
项，每组
3
个数，所以共
4
5
÷
3 =15
组，原数列有
15
组。当然，我们还可以有其他的配组方法。
（
4
）
22
项．
对于一个 等差数列的求和，
在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。
这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。希望教师能帮助孩子牢固掌握。
【例
2
】
计算下列各题：
（
1
）
2
＋
4
＋
6
＋
…
＋
96
＋
98
＋
100
（
2
）
2
＋
5+8+…
＋
23+26＋
29
分析：
（
1
）这是一个公差为
2< br>的等差数列，首项是
2
，末项是
100
，项数为
50
。
所以：
2+4+6
＋
…+96
＋
98+100
＝
(2+100)×
50÷
2
＝
2550
（
2
）这是一个公差为
3
，首项为
2
，末项为
29
，项数是
10
的等差数列。
所以：
2
＋5
＋
8
＋
…+23+26
＋
29
＝
( 2+29)×
10÷
2
＝
155
其实在这里，我们还有一个找项数的公式。那么让我们一起从等差数列的特性来找找吧！
【例
3
】
你能找出几个等差数列的特征？从你的结果中，你能找到等差数列求项数的公式么？
分析：我们都知道，所谓等差数列就是：从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，那么我们可以得
到：
第
2
项
=
首项
+
公差
=
首项
+
公差×
1
/?userid=1787958560
1
第
3< br>项
=
第
2
项
+
公差
= (
首项+
公差
)+
公差
=
首项
+
公差×
2
第
4
项
=
第
3
项
+
公差
= (
首项
+
公差×
2)+
公差
=
首项
+
公差×
3
第
5
项
=
第
4
项+
公差
= (
首项
+
公差×
3)+
公差
=
首项
+
公差×
4
第
6
项
=
第
5
项
+
公差
= (
首项
+
公差×
4)+
公差
=
首项
+
公差×
5
……
第
n
项
=
首项
+
公差×（
n- 1
）
……
末项
=
首项
+
公差×
(
项数—
1)
末项—首项
=
公差×
(
项数—
1)
项数
=(
末项—首项
)
÷公差
+1
通过上面的分析，我们还可以发现：
第
4
项－第
3
项
=
公差×
1
第
5
项－第
3
项
=
公差×
2
第
6
项－第
3
项
=
公差×
3
第
6
项－第
2
项
=
公差×
4
第
n
项－第
3
项
=
公差×（
n-3
）
第
n
项－第
m
项
=
公差×（
n
－
m
）
，
（
n
＞
m
）
由 此，
我们便得到了，
等差数列的求项数公式和其它一些公式关系，
大家不要死记硬背，
一定要理解运用。
【例
4
】
利用上题得到的结论计算下面结果。
（
1
）
3
、
5
、
7
、
9
、
11
、
13
、
15
、……
，这个数列有多少项？它的第
102
项是多少？
（
2）
0
、
4
、
8
、
12
、
16
、
20
、……
，它的第
43
项是多少？
（
3
）已知等差数列
2
、
5
、
8
、
11
、
14
…
，问
47
是其中第几项？
（
4
）已知等差数列< br>9
、
13
、
17
、
21
、
25、
…
，问
93
是其中第几项？
分析：
（
1
）它是一个无限数列，所以项数有无限多项。
第
n
项
=
首项
+
公差×（
n-1
）
，所以，第
102
项
=3+2
×（
102-1
）
= 205
；
（
2
）第
43
项=0+4
×（
43-1
）
= 168
。
（
3
）首项
=2
，公差
=3
，我们可以这样看 ：
2
、
5
、
8
、
11
、
14
…
、
47
，
那么这个数列有：
n=
（
47-2
）÷
3+1=16 ，
（熟练后，此步可省略）
，即
47
是第
16
项
。
其实求项数公式，也就是求第几项的公式。
（
4
）
n=
（
93-9
）÷
4+1=22
。
【例
5
】
（
1
）如果一等 差数列的第
4
项为
21
，第
6
项为
33
， 求它的第
8
项
.
/?userid=1787958560
1
（
2
）如果一等差数列的第
3
项为
16
，第
11
项为
72
，求它的第
6
项
.
分析：要求第
8
项，必须知道首项和公差。
第
6
项－第
4
项
=
（
6
－
4
）×公差
，所以
，公差
= 6
；
第
4
项
=
首项
+3
×公差
，
21=
首项
+3
×
6
，所以，首项
=3
；
第
8
项
=
首项
+7
×公差
=45
。
（
2
）公差
=7
，首项
= 2
，第
6
项
=37
。
【例
6
】
（
1
）
（第二届“迎春杯”刊 赛）
从
401
到
1000
的所有整数中，
被
8除余数为
1
的数有
_____
个？
（
2）
（第五届迎春杯刊赛）
1
至
100
各数，所有不能被
9
整除的自然数的和是
____
？
分析：在讲解此题之前，教师可先引入【附
1
】
；因为被
8
除余数为
1
的整数组成公差是
8
的等差数列，
最小的是< br>401
，最大的是
993
，于是项数
=(993
—
4 0
1)÷8+1=75．
（
2
）在
1
至
100
中，被
9
整除的数的和是：9+18+27+…+99=9 ×(1+2+3+…+11)=9×66=594；
1
至
100
各 数之和是：1+2+3+…
+100=5050
；
所以在
1
至
100
的各数中，所有不能被
9
整除的数的和是：
5050—
594=4456
．
【例
7
】
计算各数列的和：
（1
）
3
＋
4
＋
5
＋
…
＋99
＋
100
（
2
）
4
＋
8
＋
12
＋
…
＋
32
＋
36
（
3
）
65
＋
63
＋
61
＋
…
＋< br>5
＋
3+1
分析：
（
1
）项数：
（
100
－
3
）÷
1
＋
1=98
；
和：
（
3+100
）×
98
÷
2=5047
；
（
2
）项数：
（
36
－< br>4
）÷
4
＋
1=9
；和：
（
4+36）×
9
÷
2=20
×
9=1800
；
（
3
）项数：
（
65
－
1
）÷
2
＋
1 =33
；和：
（
1+65
）×
33
÷
2=33< br>×
33=1089
。
题目做完以后，我们再来分析一下 ，
（
2
）题中的等差数列有
9
项，中间一项即第
5
项的值是
20
，而
和恰等于
20
×
9
，
（
3
）题中的等差数列有
33
项，中间一项即第
17
项的值是
33
，而和恰等于
33
×
33
，其
实，这并不是偶 然的现象，关于中项有如下定理：
对于任意一个项数为奇数的等差数列 ，
中间一项的值等于所有项的平均数，
也等于首相与末项和的一
半；或者换句话说，各 项和等于中间项乘以项数。
这个定理称为中项定理
.
【例
8
】
建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第
2
层
6
块砖，第
3
层
10
块砖…，依次< br>/?userid=1787958560
1
每层都比其上面一 层多
4
块砖，已知最下层
2106
块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多 少块？
分析：如果我们把每层砖的块数依次记下来，
2
，
6
，
10
，
14
，…
容易知道，
< br>是一个等差数列。
2106
是第
n=
（
2106-2
）÷
4+1=527
层，中间一层是第
（
527+1
）÷
2=264
层，那么中间一层有：
2+
（
264-1
）×< br>4=1054
块，这堆砖共有：
1054
×
527=555458（块）
。
【例
9
】
计算：
（
1
）
（
1+3+5+
……+1997+1999
）一（
2+4+6+
……
1996+1998）
（
2
）
4000-5-10-15-
…
-95-100
分析：
（
1
）法
1
：第一个数列的项数
1000
，第二个数列的项数为
999
，
利用求和公式得：
（
1+1999
）×
1000
÷
2-
（
2+19 98
）×
999
÷
2=1000
。
方法
2
：
第一个括号内共有
1000
个数，第二 个括号内有
999
个数。把
1
除外，第一个括号内的各数依次
比第二 个括号里相应的数大
1
，因此可简捷求和。
原式
=1+(3-2) +(5-4)+
……
+(1999-1998)=l+1+1+
……
+1
(
共
1000
个
1)=1000
（
2
）分析：通过观察可知，题目中的减数可以组成等差数列，所以，可先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和。
4000-5-10-15-
…
-95-100
＝
4000-(5+10+15
＋
…
＋
95+100)
＝
4 000-(5+100)×
(20÷
2)
＝
4000-1050
＝< br>2950
。当一个数连续减去几个数，这些减数能组成等差数列时，可以先求这些减数的和，再从 被减数中
减去这个和。
【例
10
】
把自然数按下面形式排列，它的第一行是
1
、
2
、
4
、
7
、
11
……那么第一行的第
100
个数是几
?
1
，
2
，
4
，
7
，
1l，……
3
，
5
，
8
，
12
，……
6
，
9
，
13
，
……
10
，
14
，……
15
，
……
……
分析：
观察上面数的排列规律，
从右上方到左下方看斜行，
依次是
1，
(2
，
3)
，
(4
，
5
，
6)
，
(7
，
8
，
9
，
10)
，
……
各斜行数的个数顺次是
1
，
2
，
3
，
4
，……所以第一行的第
100
个数，正好是第
100
个斜 行的第一个数。
(1+2+3+
……
+98+99)+1 =(1+99)
×
99÷
2+1=4951
。
【例
11
】
（第十五届迎春杯初赛）下面方阵中所有数的和是多少？
1901 1902 1903 1904
…
1950
1902 1903 1904 1905
…
1951
1903 1904 1905 1906
…
1952
┇
┇
┇
┇
┇
1948 1949 1950 1951
…
1997
1949 1950 1951 1952
…
1998
分析：每一行都是一个等差数列，且每行的和又构成公差为
50
的等差数列，总和是
4776275
。
/?userid=1787958560
1