-青春格言

2021年1月23日发(作者：洗脚的好处)
小学数学《数列求和》练习题（含答案）







【例
1
】

找找下面的数列有多少项？

（
1
）
2
、
4
、
6
、
8
、……、
86
、
98
、
100
（
2
）
1
、
3
、
5< br>、
7
、……、
87
、
89
、
91
（
3
）
3
、
4
、
5
、
6
、……、
76
、
77
、
78
（
4
）4
、
7
、
10
、
13
、……、
40< br>、
43
、
46
（
5
）
2
、
6
、
10
、
14
、
18
、……、
82< br>、
86

分析：
（
1
）我们都知道：
1< br>、
2
、
3
、
4
、
5
、
6< br>、
7
、
8
、……、
95
、
96
、< br>97
、
98
、
99
、
100
这个数列是< br>100
项，
现在不妨这样去看：
（
1
、
2
）
、
（
3
、
4
）
、
（
5
、
6
）
、
（
7
、
8
）
、……、（
95
、
96
）
、
（
97
、
98
）
、
（
99
、
100
）
，让它
们两两一结合，
奇数在每一组的第
1
位，
偶数在第
2
位，
而且每组里偶数比奇数大，
小朋友们一看就知道，
共有
10
0
÷
2=50
组，每组把偶数找出来，那么原数列就有
50
项了。


（
2
）配组：
（
1
、
2
）、
（
3
、
4
）
、
（
5
、6
）
、
（
7
、
8
）
、……、
（
87
、
88
）
、
（
89
、
90
）
、
（
91
、
92
）
，
1
—
92
有
92
项，
每组
2
项，那么可以得到9
2
÷
2=46
组，所以原数列有
46
项。


（
3
）连续的自然数列，
3
、
4
、5
、
6
、
7
、
8
、
9
、10
……

，对应的是这个数列的第
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、……

，发现它的项数比对应数字小
2
，所以
78
是第
76
项，那么这个数列就有
76
项。对于连续的自
然数列，它们的项数是：末项

—

首项

+ 1
。


（
4
）配组：
（
4
、5
、
6
）
、
（
7
、
8
、9
）
、
（
10
、
11
、
12
）
、
（
13
、
14
、
15
）
、… …、
（
46
、
47
、
48
）
，注意等差是
3
，
那么每组有
3
个数，
我们数列中的数都在每组的第< br>1
位，
所以
46
应在最后一组第
1
位，
4< br>到
48
有
48-4+1=45
项，每组
3
个数，所以 共
4
5
÷
3=15
组，原数列有
15
组。当然，我 们还可以有其他的配组方法。


（
5
）
22
项．


对于一个等差数列的 求和，
在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。
这种找项数的方法在学
生学习 了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。希望
教师能 帮助孩子牢固掌握。



【例
2
】

计算下列各题：

（
1
）
2
＋
4
＋
6
＋
…
＋
96
＋
98
＋
100
（
2
）
2
＋
5+8+…
＋
23+26＋
29

分析：
（
1
）这是一个公差为
2< br>的等差数列，首项是
2
，末项是
100
，项数为
50
。

所以：
2+4+6
＋
…+96
＋
98+100
＝
(2+100)×
50÷
2
＝
2550
（
2
）这是一个公差为
3
，首项为
2
，末项为
29
，项数是
10
的等差数列。

所以：
2
＋5
＋
8
＋
…+23+26
＋
29
＝
( 2+29)×
10÷
2
＝
155



其实在这里，我们还有一个找项数的公式。那么让我们一起从等差数列的特性来找找吧！


【例
3
】

你能找出几个等差数列的特征？从你的结果中，你能找到等差数列求项数的公式么？


分析：我们都知道，所谓等差数列就是：从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，那么我们可以得
到：

第
2
项
=
首项
+
公差


=
首项
+
公差×
1
第
3
项
=
第
2
项
+
公差
= (
首项
+
公差
)+
公差
=
首项
+
公差×
2
第
4
项
=
第
3
项
+
公差
= (
首项
+
公差×
2)+
公差
=
首项
+
公差×3
第
5
项
=
第
4
项
+
公差
= (
首项
+
公差×
3)+
公差
=
首项< br>+
公差×
4
第
6
项
=
第
5
项
+
公差
= (
首项
+
公差×
4)+
公 差
=
首项
+
公差×
5
……



第
n
项
=
首项
+
公差×（
n-1
）


……

末项
=
首项
+
公差×
(
项数—
1)
末项—首项
=
公差×
(
项数—
1)



项数
=(
末项—首项
)
÷公差
+1


通过上面的分析，我们还可以发现：

第
4
项－第
3
项

=
公差×
1
第
5
项－第
3
项

=
公差×
2
第
6
项－第
3
项

=
公差×
3
第
6
项－第
2
项

=
公差×
4
第
n
项－第
3
项

=
公差×（
n-3
）




第
n
项－第
m
项

=
公差×（
n
－
m
）

，
（
n
＞
m
）




由此，
我们便得到了，
等差数列的求项数公式和其它一些公式关系，
大家不要 死记硬背，
一定要理解运用。



【例
4
】

找下列数列中的项：

（
1< br>）
3
、
5
、
7
、
9
、
11
、
13
、
15
、……

，这个数列有多少项？它的第
102
项是多少？

（
2）
0
、
4
、
8
、
12
、
16
、
20
、……

，它的第
43
项是多少？


分析：
（
1
）它是一个无限数列，所以项数有无限多项。

第
n
项
=
首项
+
公差×（
n-1
）
，所以，第
102
项
=3+2
×（
102-1
）
= 205
；


（
2
）第
43
项
=0+4
×（
43-1
）
= 168
。




【例
5
】

（
1
）已知等差数列
2
、
5
、
8
、
11
、14
…

，问
47
是其中第几项？

（2
）已知等差数列
9
、
13
、
17
、
21
、
25
、

…

，问
93
是其中第几项？


分析：
（
1
）首项
=2
，公差
=3
， 我们可以这样看：
2
、
5
、
8
、
11
、< br>14
…

、
47
，

那么这个数列有：
n=
（
47-2
）÷
3+1=16 ，
（熟练后，此步可省略）
，即
47
是第
16
项

。

其实求项数公式，也就是求第几项的公式。


（
2
）
n=
（
93-9
）÷
4+1=22
。



【例
6
】

（
1
）如果一等差数列的第
4
项为
21
，第
6
项为< br>33
，求它的第
8
项
.









（
2
）如果一等差数列的第< br>3
项为
16
，第
11
项为
72
，求它的第< br>6
项
.

分析：要求第
8
项，必须知道首项和公差。

第
6
项－第
4
项
=
（
6
－
4
）×公差

，所以

，公差
= 6
；

第
4
项
=
首项
+3
×公差

，
21=
首项
+3
×
6
，所以，首项
=3
；

第
8
项
=
首项
+7
×公差
=45
。


（
2
）公差
=7
，首项
= 2
，第
6
项
=37
。



【例
7
】


计算各数列的和：

（1
）
3
＋
4
＋
5
＋
…
＋99
＋
100
（
2
）
4
＋
8
＋
12
＋
…
＋
32
＋
36
（
3
）
65
＋
63
＋
61
＋
…
＋< br>5
＋
3+1

分析：
（
1
）项数：
（
100
－
3
）÷
1
＋
1=98
；

和：
（
3+100
）×
98
÷
2=5047
；


（
2
）项数：
（
36
－< br>4
）÷
4
＋
1=9
；和：
（
4+36）×
9
÷
2=20
×
9=1800
；









（
3
）项数：
（
65
－
1
）÷
2
＋
1 =33
；和：
（
1+65
）×
33
÷
2=33< br>×
33=1089
。


题目做完以后，我们再来分析一下 ，
（
2
）题中的等差数列有
9
项，中间一项即第
5
项的值是
20
，而
和恰等于
20
×
9
，
（
3
）题中的等差数列有
33
项，中间一项即第
17
项的值是
33
，而和恰等于
33
×
33
，其
实，这并不是偶 然的现象，关于中项有如下定理：




对于任意一个项数为奇数 的等差数列，
中间一项的值等于所有项的平均数，
也等于首相与末项和的一
半；或者换 句话说，各项和等于中间项乘以项数。


这个定理称为中项定理
.

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