函数的奇偶性知识点
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2021年01月23日 06:35
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-勇士550
函数的奇偶性
1.
偶函数
:
如果对于
f(x)
定义域内的任意一个
x,
都有
f(-x)=f(x),
那么函数
f(x)
就叫偶函数
.
奇函数
:
如果 对于
f(x)
定义域内的任意一个
x,
都有
f(-x)=-f(x) ,
那么函数
f(x)
就叫奇函数
.
奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于
y
轴
对称
判断函数的奇偶性
,
包括两个必备条件
:
一是定义域关于原点对称< br>,
先考虑定义域是解决问题的前提，如果一个
函数的定义域关于坐标原点不对称，
那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件；
二是判断
f(x)
与
f (-x)
是否具有等量关系
.
在判断奇偶性的运算中
,
可以转化为判 断奇偶性的等价等量关系式
(f(x)+f(-x)=0(
奇函数
)
或
f(x)-f(-x)=0(
偶函数
))
是否成立
.
利用定义判 断函数奇偶性的格式步骤：
(1)
首先确定函数的定义域，
并判断其定义域是否关于原 点对称；
(2)
确定
f(
－
x)
与
f(x)
的关系；
(3)
作出相应结论．
说明：根据奇偶性
,
函数可划分为四类：
①偶函数
②奇函数
③既奇又偶函数
④非奇非偶函数
2.
奇函数的性质：
○
1
定义域关于原点对称；
○
2
f(-x)=-f(x)
或
f(-x)+f(x)=0
；
○
3
图象关于原点对称；
○
4
在关
于原点对称的区间上具有相同的单 调性；
○
5
如果
0
在
f(x)
的定义域内，则一定 有
f(0)=0
偶函数的性质：
○
1
定义域关于原点 对称；
○
2
f(-x)=f(x)
或
f(-x)-f(x)=0；
○
3
图象关于
y
轴对称；
○
4
在关
于原点对称的区间上具有相反的单调性；
○
5
如果一个函数既是奇函数有是偶 函数
,
那么有
f(x)=0
3.
判断函 数的奇偶性为什么要判断定义域在
x
轴上所示的区间是否关于原点对称呢？答：
由定义 知，
若
x
是定义
域内的一个元素，－
x
也一定是定义域内的 一个元素，所以函数
y
＝
f
(
x
)
具有奇偶性的一 个必不可少的条件是：
定义域在
x
轴上所示的区间关于原点对称．即：如果所给函数的 定义域在
x
轴上所示的区间不是关于原点对称，
3
这个函数一定不具有奇偶性 ．
例如：
函数
f(x)
＝
x
在
R
上是奇函 数，
但在
[
－
2,1]
上既不是奇函数也不是偶函数．
4.
函数奇偶性的判断：
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件 。
判断函数的奇偶性，
首先要检验其定
义域是否关于原点对称，
若关于原点对 称，
再严格按照奇偶性的定义或其等价形式进行推理判断．
函数定义域影
响奇偶性，若 首先求得定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；
判断函数的奇偶性< br>,
一般都按照定义严格进行
,
一般步骤是
:
（
1
）考查定义域是否关于原点对称；
（
2
）考 查表达式
f
（
-x
）是否等于
f
（
x
）或
-f
（
x
）
：
若
f
（
-x
）
= - f
（
x
）
，则
f
（
x
）为奇函数；
若
f
（
-x
）
= f
（
x
），则
f
（
x
）为偶函数；
若
f
（
-x
）
= f
（
x
）
，且
f
（
-x
）
=- f
（
x
）
,
则
f(x)
既是奇函数又是偶函数；< br>
若
f
（
-x
）≠
-f
（
x
）且
f
（
-x
）≠
f
（
x
）
，则
f
（
x
）既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数
.
5.
函数奇偶性定义的理解：
(1)
函数的奇偶性与单调性 的差异．奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反
映函数在某一区间上函数值的变化趋势．
奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，
这一点与函数的单调性不同，
从这个意义上来讲，
函数的单调性是函数的“局部”性质，
而奇偶性是函数的“整体”性质，
只有对定义域 中的
每一个
x
，
都有
f(
－
x)
＝－f(x)[
或
f(
－
x)
＝
f(x)]
，才能说
f(x)
是奇
(
偶
)
函数．
(2)定义域关于原点对称是函数
具有奇偶性的前提条件．由函数奇偶性的定义知，若
x
是定义域中的一个数值，则－
x
必然在定义域中，因此，
函数
y
＝< br>f(x)
是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在数轴上所示的区间关于原点对称．换 言之，若
所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性．如函数
y
＝< br>2x
在
(
－∞，＋∞
)
上是奇函数，但在
[
－
2,3]
上则无奇偶性可言．
(3)
既奇又偶函数的表达式是
f (x)
＝
0
，
x
∈
A
，定义域
A
是关于原点对称的非空数
集．
(4)
若奇函数在原点处有定义，则有
f(0)
＝
0.
6.
奇、偶函数的图象特征：
(1)
如 果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称
图形．反之，如果一个函数 的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)
如果一
个函数是偶函数，
则这个函数的图象关于
y
轴成轴对称图形．
反之，
如果一个函数的图象关于
y
轴成轴对称图形，