函数奇偶性经典总结
余年寄山水
501次浏览
2021年01月23日 06:41
最佳经验
本文由作者推荐
-长城的构造
函数的奇偶性
f x
的定义域内任意一个
x
就叫做偶函数。
一、函数奇偶性的基本概念
1
．偶函数：一般地，如果对于函数
x
，都有
f
x
f
x
，
f (
x)
f ( x) 0
，那么函数
f
2.
奇函数：一般地，如果对
于
函数
f x
的
定
义
域内
任一
个
x
，
都
有
f
x
f
x
，
f (
x)
f (x) 0
，那么函数
f
x
就叫做奇函数。
注意：
（
1
）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非
偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断
（
2
）在判断
f
f
f
x
x
f x
f x
之一是否成立。
0
及
x
与
f
f (
x
的关系时，只需验证
x)
=
1
是否成立即
f ( x)
可来确定函数的奇偶性。
题型一
判断下列函数的奇偶性。
f (x)
f (x)
x
x
1
x
f ( x)
）
f ( x)
x
⑴
x
f
2
x
，
（
2
x
3
（
3
）
x
2
1
G x
f x
x , x
R
(4)
(5)
f ( x)
x cos x
(6)
f (x)
x sin x
(7)
f ( x) 2
x
2
，
(8)
x
提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断
（
1
）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。
（
2
）常见的奇函数有：
（
3
）常见的奇函数有：
（
4
）若
f
偶函数，
f
f ( x)
x
，
f ( x)
f ( x)
x
，
f (x)
x
，
f ( x)
3
sin x
，
cos x
x
，
f (x)
2
f ( x)
1
x
x
、
g x
都是偶函数
,
那么在
f
x
x
与
g x
的公共定义域上，
f
x
+
g x
为
g x
为偶函数。当
g x
≠
0
时，
f (x)
为偶函数。
g (x)
（
5
）若
f
数，
f x
x
，
g x
都是奇函数，那么在
g x
是奇函数，
f
x
与
g x
的公共定义域上，
f
x
+
g x
是奇函
f
x g x
是偶函数，当
g x
≠
0
时，
f ( x)
是偶函数。
g (x)
1/14
（
6
）常函数
f x
c c
为常数
是偶函数，
f x
0
既是偶函数又是奇函数。
（
7
）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商
数
奇
(
偶
)
数个奇函数积、商
（
8
）对于复合函数
F x
偶函数；若
g x
为奇函数，
数
,
则
F x
为偶函数
.
(
分母不为零
)
仍为偶函数
奇函数和、差仍为奇函
(
分母不为零
)
为奇
(
偶
)
函数
;
一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数
.
f
g x
；若
g x
为偶函数
,
f
f
x
为奇函数
,
则
F
x
为奇（偶）函数，则
F
x
都为
x
为奇函数
;
若
g x
为奇函数，
f
x
为偶函
题型二
三次函数奇偶性的判断
已知函数
f (x)
（
2
）当
b d
ax
3
bx
2
cx
d
，证明：（
1
）当
a c
0
时，
f (x)
是偶函数
0
时，
f (x)
是奇函数
提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，
如
f
x
ax
bx c
，当
b
0
，
( )
f ( x)
2
是偶函数；当
a
c
0
，
f ( x)
是奇函数。
题型三
利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值
1
函数
f
x
2
1
bx
3a
b
是偶函数，定义域为
ax
a 1
，
2 a
，则
a b
3
．
2
设
f ( x)
ax
2
bx
2
是定义在
1 a,2
上的偶函数，则
f ( x)
的值域是
sin x
10,2
．
3
已知
f (x)
是奇函数，则
a
的值为
1
(x 1)( x a)
4
已知
f ( x)
sin x ln( x
x
2
a )
是偶函数，则
a
的值为
1
提示：
（
1
）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，
（
2
）因为是填空题，所以还可以用
f (
x) f ( x), f ( x)
f (1)
。
f ( x)
。
f ( 1)
f (1),
f ( 1)
（
3
）还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。
题型四
利用函数奇偶性的对称
1
下列函数中为偶函数的是（
B
）
2/14
A
．
y x
sin x
2
y
x
B
．
y
x
cosx
A
2
C
．
y
ln x
D
．
y
2
x
2
下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A
．
y x e
x
B
．
y x
1
x
）
1
x
C
．
y 2
x
1
x
2
D
．
2
y 1
x
3
下列函数中，为偶函数的是（
A
．
y x 1
C
B
．
y
C
．
y x
4
D
．
y x
4
函数
f ( x)
1
x
x
的图像关于（
C
）
A
．
y
轴对称
5
已知函数
f (x
6
已知函数
f (x
B
．
直线
y
x
对称
C
．
坐标原点对称
D
．
直线
y
f (
1)
f (
3)
4
，则
f (3)
=-4
3
，则
f (7)
=-3
f (
x)
x
对称
1)
是
R
上的奇函数，且
2)
是
R
上的偶函数，则
提示：
（
1
）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，
(2)
奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于
(3)
在原点有定义的奇函数必有
f ( x), f ( x)
f ( x)
。
y
轴对称。
f (0)
0
。
（
4
）已知函数
f (x t)
是
R
上的奇函数，则
(5)
已知
f ( x
题型五
f (x)
关于点
(t ,0)
对称。
t)
是偶函数，则
f (x)
关于直线
x
t
对称。
奇偶函数中的分段问题
1
设
f ( x)
为定义在
R
上的奇函数，
当
x
2
已知
f x
是奇函数，且当
0
时，
f (x)
2
x
2
x b
（
b
为常数）
，则
f (
1)
-3
0
时，
f x
的表达式。
x
0
时，
f
x
x x
2
，求
x
f ( x)
x x
2
3
已知函数
f
(x)
是定义在
R
上的奇函数，当
4
已知
f
x
2
0
时，
f (x)
2x
3
x
，则
f (
3)
=-45
2 4
2
x
是偶函数，当
x
2
0
时，
f ( x)
x
x
2x
，求
f (
4)
2
x
0
=
{ x | x 0
或
5
设偶函数
f (x)
满足
f (x)
4(x
0)
，则
x f x
0
，
f (x)
3/14
4}
0
时，
f ( x)
提示：
（
1
）已知奇函数
f ( x)
，当
x
g( x)
，则当
x
g (
x)
。
（
2
）已知偶函数
f (x)
，当
x
0
，
f ( x)
g( x)
，则当
x
0
时，
f (x)
g(
x)
。
类型六
奇函数的特殊和性质
1
已知函数
f (x)
2
已知
f ( x )
3
已知
f ( x)
x
7
ax
bx
3
2
，
求
f (
2) f ( 2)
的和为
4
cx
3
5
x
5
ax
3
12
，则
f
(3)
=0
bx
8
，
f (
2) 10
，
f ( 2)
=_-26__
dx
6
，且
f (
3)
4
已知函数
f (x)
＝
x
2
1
x
2
x
1
，若
f (a)
2
，则
f ( a)
(
3
4
3
)
提示：
已知
f ( x)
满足，
f ( x)
题型七
函数奇偶性的结合性质
g( x) t
，其中
g (x)
是奇函数，则有
f (a)
f ( a) 2t
。
1
设
f ( x)
、
g( x)
是
R
上的函数，且
f (x)
是奇函数，
g ( x)
是偶函数，则结论正确的是
A
.
f (x) g (x)
是偶函数
B
.|
f (x)
|
g( x)
是奇函数
D
f (x)
C
.
|
g (x)
是奇函数
|
f (x) g( x)
是奇函数
.|
|
2
设函数
f (x)
和
g (x)
分别是
R
上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
A
．
f ( x)
C
．
f ( x)
g( x)
是偶函
g ( x)
|
是偶函数
B
．
f (x)
g( x)
是奇函数
g( x)
|
是奇函数
D
．
f (x)
3
设
函
数
f ( x)
与
g (x)
的
定
义
域
是
x
R
且
x
1
,
f ( x)
是
偶
函
数
,
g( x)
是
奇
函数
,
且
f ( x)
g (x)
1
x
1
,
求
f (x)
和
g (x)
的解析式
,
f ( x)
1
x
2
，
g (x)
x
2
。
1
提示：
（
）已知
f (x)
是奇函数，则
f (x)
1
x
1
是偶函数。
（
2
）已知
h( x)
是
R
上的函数，且
f ( x)
也是
R
上的偶函数和
g( x)
也是
R
上的奇函数，满足
h( x)
f (x)
g( x)
，则有
g (x)
h( x)
h(x)
，
f (x)
h( x)
h( x)
。
2
2
题型八
函数的奇偶性与单调性
4/14
1
下列函数中，既是偶函数又在区间
(0,
)
上单调递减的是（
）
D
．
y
A
．
y
1
B
．
y
e
x
C
．
y
x
1
2
lg x
x
1,2
）内是增函数的为
2
下列函数中，既是偶函数，又在区间（
（
A
）
y
cos 2x
，
x
R
e
（
B
）
y
log
2
x
，
x
R
且
x
≠
0
3
x
（
C
）
y
e
2
x
，
x
R
（
D
）
y
x
1
，
x
R
3
设
f ( x)
x sin x
，则
f ( x)
（
B
）
A
既是奇函数又是减函数
4
设奇函数
B
既是奇函数又是增函数
C
有零点的减函数
D
没有零点的奇函数
f ( x)
在
(0
，
)
上为增函数，且
f (1)
0
，则不等式
f ( x) f ( x)
x
0
的解集为
（
( 1
，
0) (01)
，
）
5
已知偶函数
f x
在
0,
单调递减，
f
2
0
，
若
f x
1
0
，则
x
的取值范围是
( 1,3)
.
6
已知偶函数
f ( x)
在区间
0,
)
单调增加，则满足
f (2 x
1)
＜
f (
)
的
x
取值范围是
(
1
1
2
3
,
)
3
3
提示：
（
1
）已知
f (x)
是奇函数，且在
(
函数。
,0)
上是增（减）函数，则在
(0, )
上也是增（减）
（
2
）已知
f ( x)
是偶函数，且在
(
（
3
）已知
f ( x)
是偶函数，必有
,0)
上是增（减）函数，则在
(0,
)
上也是减（增）函数。
f (
x)
f (x)
f ( x )
。
题型九
函数的奇偶性的综合问题
1
已知函数
f x
,
当
x, y
R
时，恒
f ( x
y) f (x) f ( y)
，且
x
0
时
, f
x
0
，又
f
1
1
2
（
1
）求证：
f
x
是奇函数；
（
2
）求证：
f ( x)
在
R
上是减函数；
（
3
）求
f ( x)
在
区间
2,6
上的最值。最大值
1
，最小值
-3
。
f ( x)
在
R
上是偶函数，在区间
，
0
上递增
，且有
2
设
的取值范围。
(
,
2
f
2
2
1
a
a
2
2
2
f
a
a
3
，求
a
)
5/14
3
练习题
一、
判断下列函数的奇偶性
（
1
）
f (x)
x
x
2
（
2
）
f ( x)
x
2
1
（
3
）
f
x
x
1
1
1
, x
( 1,1)
1
x
x
（
4
）
f (x)
x
2
x
2
（
5
）
f ( x)
1, x
R
（
5
）
f ( x)
0, x
[
2,2]
（
6
）
f ( x)
(8)
f ( x)
x
e
ln x
(7)
f ( x)
(11)
(15)
x
3
x
sin x
tan x
（
9
）
f (x)
x
2
2
1
，
(10)
，
(14)
1
f (x)
f (x)
x
1
，
x
cosx
，
2
f (x)
e
x
e
，
(12)
f ( x)
x sin x
(13)
，
(16)
2
f ( x)
x
,(17)
x
x
f ( x)
2
f ( x)
xln(
x
1 x)
f (x) ln(1
| x |)
1 x
2
二、利用函数的奇偶性求参数的值
1
若函数
f
x
(m
1) x
x
3
3
2
2mx
3
是偶函数，求
m
的值。
0
2
2
若函数
f (x)
3
函数
f ( x)
4
若
f ( x)
(a
1)x
(b
1)x
2
bx
c
4
是奇函数，求
( a
c)
2
5
的值。
4
2
ax
1
x
x
是奇函数，定义域为
(b
1, a)
，则
( a
b
2)
的值是
9
．
2
1
a
是奇函数，则
a
1
2
5
若函数
f (x)
6
设函数
f (x)
7
若函数
f (x)
x
2
x
a
为偶函数，则实数
a
___0_____.
x
x(e
ae
)( x
R)
是偶函数，则实数
x
x
a
_______-1________
.
log
a
(x
2
2a
)
是奇函数，则
a=
2
2
2
8
若
f ( x )
( x
2)( x
m)
x
为奇函数
,
则实数
m
__-2____.
9
若函数
f (x)
10
若
f x
x ln( x
3x
a x
)
为偶函数，则
2
a
1
ln e
1
ax
是偶函数，则
a
____
三、
函数奇偶性定义的应用
1
函数
y=
y
的图像
A
2
log
2
2
x
x
3
________.
2
（
A
）关于原点对称
（
B
）关于直线
y
x
对称（
C
）关于
y
轴对称（
D
）关于直线
y
6/14
x
对称
2
已知函数
A.
f
3
若
f
f
x
1
f
x
x
，
x
R
则（
B
）
2
x
B.
f
x
为偶函数
C.
f
x
f
x
0
D.
f
x
不是偶函数
( A
x
是偶函数，则
kf
x
（
k
为常数）
)
A.
是偶函数
4
函数
f
B.
不是偶函数
C.
是常数函数
D.
无法确定是不是偶函数
x
=
1, x
0.
1, x
0
则
f
x
为
（
B
）
A.
偶函数
5
已知
f
A
奇函数
B.
奇函数
C.
既是奇函数又是偶函数
D.
既不是奇函数又不是偶函数
x
为奇函数，则
f
x
x
为
（
A
）
B.
偶函数
C.
既不是奇函数又不是偶函数
是偶函数
f
D.
既是奇函数又是偶函数
6
已知点
1,3
A.-3
7
若点
A.0
x
图像上一点，则
f
1
等（
B
）
B.3
C.1
D.-1
1,3
在奇函数
y
f
x
的图象上，则
f
1
等于（
D
）
B.-1
C.3
2
D.-3
8
已知
y
f (x)
x
是奇函数
,
且
f (1)
1
.
若
g( x)
F ( x)
f ( x)
2
,
则
g (
1)
f ( x)
____-1___ .
9
设
f ( x)
是定义在
R
上的一个函数，则函数
A
．奇函数
f (
x)
，在
R
上一定是（
A
）
B
．偶函数
C
．既是奇函数又是偶函数
10
设
f ( x)
是
R
上的奇函数，且
y
f ( x)
的图象关于直线
x
1
对称，则
D
．非奇非偶函数
2
f (1)
f (2)
f (3)
f (4)
f (5)
0
11
已知偶函数
f ( x)
的图像关于直线
12
设函数
f x
对于任意
x, y
13
已知
t
x
2
对称，
f (3)
3
，则
f ( 1)
___3____.
R
都有
f
x
x
为奇函数，则
t
-1
2
t, x
，
g( f (
2))
-7
g ( x), x
0,
14
已知奇函数
f ( x)
的，且方程
f ( x)
0
仅有三个根
x
1
, x
2
, x
3
，则
x
1
x
2
x
3
的值
0
R
，函数
f (x)
15
设函数
f
0,
y
f
x
f
y
，求证：
f
x
是奇函数。
．
x
是
R
上为奇函数，且
f (x 2)
f ( x)
f ( 2)
，在
f (5)
的值
5
2
16
已知偶函数
f ( x)
17
已知偶函数
f (x)
四、
函数奇偶性的性质
2
x
x
2
4 (x
0)
，求
f
(
x
) 4
f
(x) 3 0
的个数
7
2
4 x
6( x 0)
，求
f
( x)
12 f
(x) 44 f (x) 48 0
的个数
9
3
2
7/14