学习数学的八种思想与八种能力
绝世美人儿
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2021年01月23日 06:57
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-yundonghui
学习数学的十种思想与八种能力
【小引】
了解正态分布原理后，
我们有充分的理由相信人与人智力上的区别并不明显，
在正态总体
中，
智力正常者占 绝大数，
智力超长与智力欠缺的人是极少数的，
所以，
直接来看，
我们每个人 都
有成为下一个高斯的潜力，
都潜藏着伽罗华的才情。
也许你注意到，
很多数 学方面有天赋的学生或
那些闪耀天空的数学伟人他们都有一个共同的特点，
那就是他们的思想方 法都高人一等，
他们的思
维方式都超人一流。
那么，
作为普通人的你，
也许有必要在思想上有所突破，
作为天资纵横的杰出
一辈，也许有必要在能力上继续积淀。< br>
浅谈十种思想
数形结合：
我国著名数学家华 罗庚先生曾经写过这样的诗句：
“数形本是相依倚，
焉能分作两边飞。
数缺形时少直观 ，
形缺数时少难入微。
数形结合百般好，
割裂分家万事休。
切莫忘，
几何代数统一
体，永远联系莫分离！
”我们看到华罗庚先生对于数形结合思想给予了极大的肯定 ，学习生活中我
们也不断体会着数形结合带来的不可言喻的妙处，
数形结合就像一架桥梁飞跨几 何代数，
化抽象为
具体，
使具体更加细腻。
数形结合是数学解题中常用的思想 方法，
数形结合的思想可以使某些抽象
的数学问题直观化、
生动化，
能够变抽 象思维为形象思维，
有助于把握数学问题的本质；
另外，
由
于使用了数形结合 的方法，
很多问题便迎刃而解，
且解法简捷。
所谓数形结合，
就是根据数与形 之
间的对应关系，
通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，
实现数形结合，常与以下内容有关：
（
1
）实数与数轴上的点的对应关系；
（
2
）函数与图象的对应关系；
（
3
）曲线与方程的对应关系；
（
4
）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；
（
5）所给的等式或代
数式的结构含有明显的几何意义。
纵观多年来的高考试题，巧 妙运用数形结合的思想方法解决一
些抽象的数学问题，
可起到事半功倍的效果，
数形结 合的重点是研究
“以形助数”
。
数形结合的思
想方法应用广泛，< br>常见的如在解方程和解不等式问题中，
在求函数的值域、
最值问题中，
在求复数
和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，
大大简化了解题过程。
这在解选择题、
填空题中更显其优越，
要注意培养这种思想意 识，
要争取胸
中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。
分类讨 论：
这是考纲中重点要求的一种学生必须掌握的思想，
掌握它可以说是学生乃至数学爱好者与数学工作者的本分。
而它的重点在于何时分类与如何分类，
它要求分类做到不重不漏，< br>恰到好处，
在解题过程中，
分类前常常伴随对题干本身的挖掘与变化，
分类后又 会有遇到一些新的问题，
所以
在扎实基本功的前提下，树立分类讨论思想极具必要性。
极限思维：
这种思维的养成需要某种程度上的偏执，
加上一点不群的怪诞想 法。
极限是对万物规律
的本源的探求，
是一种随着个人意愿的无限放大，
紧接 着量变必然催生质的飞跃。
极限思维在研究
物理过程和动平衡问题时长驱直入，例如伽利略在研 究自由落体运动时大胆的将斜面外推之
90
度
从而揭示了真理。
爱因斯坦正是 在极端环境下窥探到牛顿经典力学的谬误，
从而创立了相对论。
极
限思维注重极端效果 和结论，
运用时要分清情况否则容易忽略中间内容的变化，
例如求特定抛物线
在一段定 义域上的值域时，是不得不考虑对称轴的。然而如果没有极高的哲学修养
,
运用这种思维
会徒劳无功，
爱因斯坦在晚年企图构造统一场论，
牛顿晚年欲证明上帝第一推动力的存在，< br>结果就
是终其一生无所收获。
极限思维也是一种有逻辑的系统性的思维延伸，
不 断追问为什么，
这样有两
个后果，
一是误入歧途，
一是直达峰顶。
这 时哲学的力量就显现了，
后者有着更多的对生活规律和
自然现象的认识，
极限思维能在 已知的方向上不断突进，
挖掘事物的共性和特性，
比如说，
了解一
个国家的地 理，
如果不知道这个国家的疆域四至，
那么永远都不会有一个全面的认识，
极限就是从
中心拓展到边界，
这样我们会在知识之外审视它们，
构筑出浑然一体的知识系，
这样即使常年不从
事科学研究，知识技术仍不会失掉。
化归转化：以开篇正态分布为例，
解决正态分布概率题时有时我们也会转化成图像面积问题，
利用对称性来解决，这样一道问题就被转化成了另一种问题。化归思想就是化未知为已知，化繁为简，
化 难为易，
把问题肢解。
如将分式方程化为整式方程，
将代数问题化为几何问题，
将四边形问题转
化为三角形问题等。
实现这种转化的方法有：
待定系数法，
配方法，
整体代入法以及化动为静，
由
抽象到具体等转化思想。以下一道例题足以说明 化归思想解题的威力。
例题：鸡兔同笼，笼中有头
50
，有足
14 0
，问鸡、兔各有几只？
分析：
化归的实质是不断变更问题，
这里 可以先对已知成分进行变形。
每只鸡有
2
只脚，
每只兔有
4
只脚，这是问题中不言而喻的已知成分。现在对问题中的已知成分进行变形：“一声令下”，要
求每只鸡 悬起一只脚，
呈金鸡独立状，
又要求每只兔悬起两只前脚，
呈玉兔拜月状。
那 么，
笼中仍
有头
50
，而脚只剩下
70
只了，并且，这时鸡 的头数与足数相等，而兔的足数与兔的头数不等，有
一头兔，就多出一只脚，现在有头
50，有足
70
，这就说明有兔
20
头，有鸡
30
头。
对称思想：
对称是自然界和人类社会中普遍存在的形式之一，
是其运 动变化和发展的规律之一。
站
在对称思想的哲学高度来研究：
具体事物的对称性如狭义 的形数对称、
抽象事物的对称性如广义的
对等性对称和数学思想方法的对称性如反对等性对称，
，
有利于认识、
分析相关问题
,
达到遵循对称
规律、简化问 题、缩短解决问题的进程。自然给予我们的理论只是一部分，万物规律的
4
分之
3都是在一群有着卓越才能的开拓性学者在对称观点的指导下发现的，
而且这个比例还在增加。
对称
观点的重要不下于极限思维，
两者又可以很好地结合。
其实极限与对称可以在一 定高度上契合，
比
如一维对称，二维组合对称，分组对称，无序对称，随机对称，对称守恒等等 都是极限的对称，因
为极限使真理更全面，多角度地为人所认知。注意，对称不是平均，而是地位平等。 比如关于
a
，
b
，
c
的轮换对称式中
a
，
b
，
c
就是对称的。老子的学说中有着浓厚的哲学辩证意味，高下相倾，远近相随，音声相和等等，对称是人生的大智慧的重要组成。
整体化：
对庞杂的算式进行化简，
是比较令人头痛的问题，
常常当我们百思不得其解的时候翻看答案，
会发出感叹，
原来这不就是我们曾学过的部分吗，
只不过本来知识中的变量是 一个字母，
在实
战中变成了一个巨大的分式等等。
再有就是排列组合的问题中整体化的 思想也随处可见，
整体化就
是整体考虑问题或局部捆绑，
这中思想建立与充分了解题意 和观察提干的基础上。
这里我们以整体
代换为例，
整体代换是运用整体思想处理问题的 一种方法，
其基本思想是把问题中的某些对象作为