牛吃草公式
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2021年01月23日 10:00
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-六年级语文复习计划
牛吃草
公式
用差量法公式可以变形为
，
此式子表达的意思
是原有存量与存量增长量之和等于消耗的总量，一般
来说原有存量和存量的自然增长速度是不变 的，则在
此假定条件下我们可以得到
，此式子说明两
种不同吃草方式的改变量等于对应 的两种长草方式的
改变量，而且可以看出草生长的改变量只与天数的变
化有关，而用的
牛吃草
改变量与牛的头数和天数都有
关。这个式子就是差量法解决牛吃草问题的基础。请
看下面例
1
：
例
1
有一块牧场，< br>可供
10
头牛吃
20
天，
15
头牛吃
10< br>天，则它可供多少头牛吃
4
天？（）
【
2003
年广东
省公务员考试行政职业能力测验真题
-14
题】
A.20 B.25 C.30 D.35
【华图提示】这道题用差量法求解过程 如下：设可
供
x
头牛吃
4
天，
10
头牛吃
20
天和
15
头牛吃
10
天
两种吃法的改变量为
1 0×
20
—
15×
10,
对应的草生长的
改变量为
20
—
10
；
我们还可以得到
15
头牛吃
10天和
x
头牛吃
4
天两种吃法的改变量为
15×
10—
4x,
对应的
草生长的改变量为
10
—
4
。 由此我们可以列出如下的
方程：
，解此方程可得
x=30
。
如果求天数，求解过程是一样的，下面我们来看另
外一道公务员考试真题：
例
2
林子里有猴子喜欢吃的野果，
23
只猴子可以在
9< br>周内吃光，
21
只猴子可以在
12
周内吃光，
问如果有
33
只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长
的速度不变）（）【
2007
年浙江省公务员考试行政职
业能力测验真题
A
卷
-24
题】
A.2
周
B.3
周
C.4
周
D.5
周
【华图提示】
解题过程如下所示：
设需要
x
周吃光，
则根据差量法列出如下方程：
，解此方程可得
x=4
。
以上两道试题在考 试中比较常见，如果考生选择正
确的思考方式，会在短时间内得出正确答案。近年来
随着考试大 纲的不断变化，命题者也在不断地推陈出
新，所以牛吃草问题有了更多的变形，比如有的试题
中 牛吃草的速度会改变。尽管有变化但考生依然可以
用差量法来解决。请大家看下面这道国家公务员考试< br>真题：
例
3
一个水库在年降水量不变的情况下，
能够维持 全
市
12
万人
20
年的用水量。
在该市新迁入
3< br>万人之后，
该水库只够维持
15
年的用水量，市政府号召节约用
水，< br>希望能将水库的使用寿命提高到
30
年。
那么，
该
市市民平均 需要节约多少比例的水才能实现政府制定
的目标？（）
【
2009
年国家公务 员考试行政职业能力
测验真题
-119
题】
A.2/5 B.2/7 C.1/3 D.1/4
【华图提示】这道试 题的思考过程：设该市市民需
要节约
x
比例的水才能实现政府制定的目标。则
12
万人
20
年和
15
万人
15
年两种吃水方式的 差为
12×
20
—
15×
15
，对应的水库存水的改变量为
20
—
15
；
15
万
人
30
年与
15
万人
15
年两种吃水方式的差为
15×
（
1< br>—
x
）
×
30-15×
15
，
对应的水库存 水的改变量为
30
—
15
，
则可列出如下的比例式：
，解此方程得
x=2/5.
这道题如果改变的是 草生长的速度，考生同样可以
用差量法来解答。请看下面这道公务员考试真题：
例
4
在春运高峰时，
某客运中心售票大厅站满等待
买票的旅客，为 保证售票大厅的旅客安全，大厅入口
处旅客排队以等速度进入大厅按次序等待买票买好票
的旅客 及时离开大厅。按照这种安排，如果开出
10
个售票窗口，
5
小时可使大厅内 所有旅客买到票；如
果开出
12
个售票窗口，
3
小时可使大厅内所有 旅客买
到票，假设每个窗口售票速度相同。如果大厅入口处
旅客速度增加到原速度的
1 .5
倍，在
2
小时内使大厅
中所有旅客买到票，按这样的安排至少应开售票窗 口
数为（）【
2008
年江苏省公务员考试行政职业能力测
验真题
C
类卷
-19
题】
A.15 B.16 C.18 D.19
【华图提示】设至少应开售票窗口数为
x
。
10
个售
票窗口
5
小时可使大厅内所有旅客买到票和开出
12
个售票窗口
3
小时可使大厅内所有旅客买到票两种方
式票的差量为5×
10
—
3×
12
，
对应的旅客差量为
5- 3
；
1
0
个售票窗口
5
小时可使大厅内所有旅客买到票和大
厅入口处旅客速度增加为原速度
1.5
倍时开出
x
个售
票窗 口
2
小时可使大厅内所有旅客买到票这两种方式
的差量为
5×
10< br>—
2x
，对应的旅客差量为
5-2×
1.5
，则
可列 出下列比例式：
，解得
x=18.
除了上述两种变形的情况以外，还有另 外一种变形的
牛吃草试题，即改变原有草量。如果改变原有草量，
从表面上此题看似乎不能用差 量法解了，实际上经过
简单的变换后依然可以用差量法解答，请大家看下面
这道题：
例
5
如果
22
头牛吃
33
公亩 牧场的草，
54
天后可以
吃尽，
17
头牛吃
28
公 亩牧场的草，
84
天可以吃尽，
那么要在
24
天内吃尽
40
公亩牧场的草，需要多少头
牛？（）
A.50 B.46 C.38
D.35
【
华图提示】
根据题意我们 可以得出
40
公亩牧场吃
54
天需要
22×
40÷
33=80/3
头牛，而
40
公亩牧场吃
84
天需要
17×
40÷
28=170/7
头牛，
列出差量法的比例式如
下：
，解得
x=35
。
因为本题中出现了不是整头牛 的情况，所以考生不
太容易理解。
实际上，
考生可把消耗量看作一个整体，
而 牛的数目并不重要，
只要计算出消耗草的能力即可。
一、问题提出
有这样的问题，如：牧场上有一片均匀生长的牧
草，可供27
头牛吃
6
周，或供
23
头牛吃
9
周。那么
它可供
21
头牛吃几周？这类问题统称为
牛吃草
问
题，它们的共同特点是由于每个单位时间草的数量在
发生变化，
从而导致时间不同，< br>草的总量也不相同。
目前小学奥数辅导教材中对此类 问题的通用解法
是用算术方法求出每个单位时间草的变化量等于多少
头牛的吃草量，再求出原有 草的量等于多少头牛的吃
草量，从而得出答案。这种方法在数量之间的关系换
算上较麻烦，一旦题目增加难度，
或与
工程问题
结合，
转成
进水排水
问题，
常常使人找不到解题的正确思路。
如果用方程思想求解此类问题，思路可以清晰，步骤< br>也可以明确，并形成一个通用的方法。
二、方程解题方法
用方程思路解决
牛吃草
问题的步骤 可以概括为
三步：
1
、
设定原有草的总量和单位时间草的变化量，
一般设原有总量为
1
，单位时间变化量为
X
；
2
、
列 出表格，分别表示牛的数量、时间总量、
草的总量（原有总量
+
一定时间内变化的量） 、每头
牛单位时间吃草数量
3
、
根据每头牛单位时间
吃草数量保持不变
这一
关系列方程求解
X
，从而可以求出任意时间的草的总
量，也可以求出每头牛单位时间吃草数量。从而针对
题目问 题设未知数为
Y
进行求解。
下面结合几个例题进行分析：
例 题
1
：一牧场上的青草每天都匀速生长。这片
青草可供
27
头牛吃< br>6
周，
或供
23
头牛吃
9
周。
那么
可供
21
头牛吃几周？
解：第一步：设牧场原有草量为
1
，每周新长草
X
；
第二步：列表格如下
:
牛的数量
时间
草的总量
27
6
1+6*X
23
9
1+9*X
21
Y
1+Y*X
根据每头牛单位时间吃草数量保持不变这一关系列方
程求解
X
有方程
(1+6*X)
/
(27*6)
=
(1+9*X)
/
(23*9)
求出
X
然后代到
(1+9*X)
/
(23*9)
=
(1+Y*X)/21*Y
牛吃草还有多种出题方式
,
例如
题目演变之一
(
青草减少
)
例题
2
： 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀
的速度减少。经计算，牧场上的草可供
20
头牛吃
5
天，或可供
16
头牛吃
6
天。那么，可供
11
头牛吃几
天？
解：第一步，设牧场原有草量为
1
，每天减少草
X
；
第二步，列表如下：
牛的数量
20
16
11