小学奥数牛吃草问题教案(一)
绝世美人儿
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2021年01月23日 10:10
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奥数十二讲
牛吃草问题（一）
牛吃草问题也叫牛顿问题或是消长问题，
因由牛顿提出而 得名，
也有人称这一类问题叫
做牛吃草问题。英国著名的物理学家学家牛顿曾编过这样一道数学 题：牧场上有一片青草，
每天都生长得一样快。这片青草供给
10
头牛吃，可以吃22
天，或者供给
16
头牛吃，可以
吃
10
天，如果供 给
25
头牛吃，可以吃几天？
解题关键
< br>牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环
节主要有四步：< br>
1
、求出每天长草量；
2
、求出牧场原有草量；
3
、求出每天实际消耗原有草量
(
牛吃的草量
--
生长的草量
=
消耗原有草量
)
；
4
、最后求出可吃天数
想：
这片草地天天 以匀速生长是分析问题的难点。
把
10
头牛
22
天吃的总量与
16
头牛
10
天吃的总量相比较，得到的
10×22
-
1 6×10=60，是
60
头牛一天吃的草，平均
分到（
22-10
） 天里，便知是
5
头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这
个条件，把所有头 牛分成两部分来研究，用其中头吃掉新长出的草，用其余头数吃掉
原有的草，即可求出全部头牛吃的天数 。
设一头牛
1
天吃的草为一份。
那么
10
头牛
22
天吃草为
1×10 ×22=2
20
份，
16
头牛
10
天吃草为
1×1 6×10=160
份
（
220-160
） ÷（
22-10
）
=5
份，说明牧场上一天长出新草
5
份。
220-
5×22=110
份，说明原有老草
110
份。
综合式：110÷（
25-5
）
=5.5
天， 算出一共多少天。
牛顿曾提出的问题
牛顿在其著 作《普遍的算术》
(1707
年出版
)
中提出如下问题：
条 公牛在四
个星期内吃掉了三又三分之一由格尔的牧草；
21
条公牛在
9
星期吃掉
10
由格尔的牧
草，问多少条公牛在
18
个星期内吃掉< br>24
由格尔的牧草？
（由格尔是古罗马的面积单位，1
由格尔约等于
2,500
平方米）。这个著名
的公牛问题叫做“牛顿问 题”。牛顿曾说过：“如果我看得比别人更远些，那是因为
我站在巨人的肩膀上”。
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牛顿的解法是这样的： 在牧草不生产的条件下，如果
12
条公牛在四星期内吃掉三又
三分之一由格尔的牧草、 则按比例
36
头公牛四星期内，或
16
头公牛九个星期内，或
八头公 牛
18
星期内吃掉
10
由格尔的牧草，由于牧草在生长，所以
21< br>头公牛
9
星期
只吃掉
10
由格尔牧草，即在随后的五周内，在
10
由格尔的草地上新长的牧草足够
21-16=5
头公牛吃
9星期，
或足够
5/2
头公牛吃
18
个星期，
由此推得，
14
个星期
（即
18
个星期减去初的四个星期）
内新长的牧 草可供
7
头公牛吃
18
个星期，
因为
5
：
14=5/2
：
7
。前已算出，如牧草不长，则
10
由格尔草地牧草 可供八头公牛吃
18
个星期，现考
虑牧草生长，故应加上
7
头，即< br>10
由格尔草地的牧草实际可供
15
头公牛吃
18
个星
期，由此按比例可算出。
24
由格尔草地的牧草实际可供
36
头公牛吃18
星期。
牛顿还给出代数解法：他设
1由格尔草地一个星期内新长的牧草相当于面积为
y
由格尔，由于每头公牛每个星期所吃牧草 所占的面积看成是相等的，
根据题意，设若所求的公牛头数为
x
，则（
10/3+10/3
）
*4y/(12*4)=(10+10*9 y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x
解得
x=36
即
36
条公牛在
18
个星期内吃掉
24
由格尔的牧草。
还有一种方法就是使用方程式的解法。
例如有一块牧场，可 供
9
头牛吃
3
天，或者
5
头牛吃
6
天，请 问多少
牛能够
2
天吃完？
我们做方程式： 设牧场原有草量为
y
，每天新增加的牧草可供
x
头牛食
用，
N
头牛能够
2
天将草吃完，根据题目条件，我们列出方程式：
y=(9-x
）×3
y=(5-
x) ×6
y=(N-x
) ×2
解方程组得
x=1 y=24 N=13
其实这种牛吃草问题的核心公式是：原有草量
=
（牛数
-
单位时间长草
量可供应的牛的数量）×天数
解法二：
牛吃草问题的
关键点
在于这个问 题
隐藏
了一个
基本的平衡
在其中，那就是：假若
每头牛每天的吃草速 率和吃草量都不相同，那么此题无解，为什么？因为很可能一头
牛心情好一天就能吃完这些草，也可能< br>10
头牛食欲不佳一个月吃都不完这些草，因
此
每头牛每天的吃草速率和数量必 须都是相同的
是这个问题成立并且能够得到答案
的
充要条件
。
得到这个结论后，我们就要开始确定一个平衡的方程式出来，如何确定？不难想< br>到，可以是吃草量和草本身量之间的平衡，也就是
吃草量
=
草总量
。于 是我们就可以
假设一头牛一天的吃草量为
M
，并假设第三种情况牛吃草的天数为
N
；接下来开始寻
找平衡方程，我们可以看到，在问题提供的条件中，第一种情况的草地总量 为
10×M×22，
第二种情况的草地总量为
16×M×10，
第三种情况的 草地总量为
25×M×N。