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2021年1月23日发(作者：张应明)
牛吃草问题是小学奥数的一类难题
,
记得在某本书上看到过：
“
牛吃 草问题就是追及问题，牛
吃草问题就是工程问题。
”
对于前半句很好理解，给孩子讲的 时候，也是按追及问题的思路
来讲的。而对于后半句，直到上周才算明白。




上周那节课是给一个班讲仁华学校课本六年级，
这个班是 我从二年级一直带上来的，
学
完了从一年到六年的整套仁华学校课本，
坚持下来的学生 也不多，
但每个都很强，
学习效果
非常明显，也看出了这套课本长久不衰的原因。



这个问题是在仁华学校课本六年级下册第六讲最 大与最小问题中出现的。
现暂且把这个
题放下，看看以前我是如何讲牛吃草问题的。




例
1
小军家的一片牧场上 长满了草，每天草都在匀速生长，这片牧场可供
10
头牛吃
20
天，可供12
头牛吃
15
天。如果小军家养了
24
头牛，可以吃几天？< br>





草速：
（
10×< br>20
－
12×
15
）
÷
（
20
－< br>15
）
=4


老草（路程差）
：

根据：路程差
=
速度差
×
追及时间




（
10
－
4
）
×
20=120
或

（
12
－
4
）
×
15=120


追及时间
=
路程差
÷
速度差：
120÷
（
24
－
4
）
=6
（天）





例
2
一个牧场可供< br>58
头牛吃
7
天，或者可供
50
头牛吃
9
天 。假设草的生长量每天相
等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃
6
天？< br>



草速：
（
50×
9
－58×
7
）
÷
（
9
－
7
）
= 22


老草（路程差）
：
(50
－
22
）
×
9=252
或
(58
－
22
）
×
7=252

求几头牛就是求牛速
,
牛速
=
路程差
÷
追及时间＋草速
252÷
6
＋
22=64(
头
)




现在回头看看仁华学校课本那道题吧
!




例
3
一个水池，
底部安有一个常开 的排水管，
上部安有若干个同样粗细的进水管，
当打开
4
个进水管时需要5
小时才能注满水池；当打开
2
个进水管时，需要
15
小时才能 注满水池；
现在需要在
2
小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？





分析

本题没给出排水管的排水速度，因 此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，
才能确定至少要打开多少个进水管
.




解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度， 故需引入参数
.
设每个进水管
1
小时注水量为
a
，排水管< br>1
小时排水量为
b
，根据水池的容量不变，我们得
方程（
4a -b
）
×
5=
（
2a-b
）
×
15
，化简，得：





4a-b=6a-3b
，即
a=b.



< br>这就是说，每个进水管
1
小时的注水量等于排水管
1
小时的排水量.




再设
2
小时注满水池需要打开< br>x
个进水管，根据水池的容量列方程，得





（
xa-a
）
×
2
＝（
2a-a
）
×
15
，





化简，得
2ax-2a=15a
，





即
2xa=17a.
（
a≠0
）





所以
x=8.5




因此至少要打开
9
个进水管，才能在
2
小时内将水池注满
.




注意：
x=8.5
，这里若开
8
个水管达不到
2
小时内将水池注满的要求；开
8.5
个水管不
切实际
.
因此至少开
9
个进水管才行
.



以上是书中给出的解法
,
考虑到此解法不适合给小学孩子讲
,
所以把此题当作牛吃草问题来
讲的
.


把进水管看成

牛

排水管看成

草

满池水 就是
“
老草
”


排水管速：
（
2×< br>15
－
4×
5
）
÷
（
15
－
5
）
=1


满池水（路程差）
：
(2
－
1
）
×
15=15
或
(4
－
1
）
×
5=15


几个进水管：
15÷
2
＋
1=8.5
（个
)




我和学生都有个好习惯，解完一道题后要反思，这道题既然是工程问题，
那么，
可不可以
用工程问题的解法来做呢？之后在课堂上 当时做了尝试，结果答案是肯定的！





当打 开
4
个进水管时，
需要
5
小时才能注满水池，
那么
4
个进水管和
1
个排水管的效率就
是
1/5
。




当打开
2
个进水管时，
需要
15
小时才能注满水池，
那么
2
个进水管和
1
个排水管的效率就
是
1/15
。




两者之间差 了（
4
－
2=
）
2
个进水管的效率，于是
1
个进水管的效率是：




（
1/5
－
1/15
）
÷
（
4
－
2
）
=1 /15


1
个排水管的效率是：



4×
1/15
－
1/5=1/15
或者
2×
1/15
－
1/15=1/15



现在需要在
2
小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？




（
1/2
＋
1/15
）
÷
1/15=8.5
（个
)



让我们用这个方法验证一下例
2
吧




例
2
一个牧场可供
58
头牛吃
7
天，或者 可供
50
头牛吃
9
天。假设草的生长量每天相等，
每头牛的吃草量也 相等，那么，可供多少头牛吃
6
天？




牛速 ：
（
1/7
－
1/9
）
÷
（
58
－
50
）
=1/252


草速：
58×
1/252
－
1/7=11/126
或者
50×
1/252
－
1/9=11/126


多少头牛 ：
（
1/6
＋
11/126
）
÷
1/252=64
（头
)


世界著名的大科学家牛顿历来喜欢研究运动，
他在运动和变化中考察问题．
他著的
《普通算
术》一书中曾提出一个有趣的数学问题：
12
头牛
4
周吃



草的生长速度不变 ．问需要多少头牛才能在
18
周吃完
24
公顷的牧草．这类问题被人
们称之为牛顿的
“
牛吃草
”
问题．下面我们共同讨论一下这类题的特点及解法 ．



例
1
牧场上有一片牧草，供
24
头牛
6
周吃完，供
18
头牛
10
周吃完．假定草的生长< br>速度不变，那么供
19
头牛需要几周吃完？



分 析：
这个问题的难点在于，草一边被牛吃掉，一边仍在生长，也就是说牧草的总量随
时间的增加 而增加．
但不管牧草怎么增长，牧场原有草量与每天（或每周）
新长的草量是不
变的， 因此必须先设法找出这两个量来．我们可以先画线段图（如图
5
—
1
）．





从上面图对比可以看出，
18< br>头牛吃
10
周的草量比
24
头牛吃
6
周的草量多，多 出的部
分恰好相当于
4
周新生长的草量．这样就可以求出草的生长速度，有了每周新长 的草量，
就可以用
24
头牛吃
6
周的草量减去
6
周 新长的草量，或用
18
头牛吃
10
周的草量减去
10
周新长 的草量，
得到牧场原有的草量．
有了原有的草量和新长的草量，
问题就能很顺利求解< br>了．



解：设
1
头牛吃一周的草量的为一份．



（
1
）
24
头牛吃
6
周的草量



24×
6=144
（份）



（
2
）
18
头牛吃
10
周的草量



18×
10=180
（份）



（
3
）（
10-6
）周新长的草量



180-144=36
（份）

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