公务员考试资料计算题总结
萌到你眼炸
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2021年01月23日 10:12
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-读雷锋日记有感
公务员考试资料计算题总结
牛吃草问题
牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：
1
、求出每天长草量；
2
、求出牧场原有草量；
3
、求出每天实际消耗原有草量
(
牛吃的草量
--
生长的草量
=
消耗原有草量
)
；
4
、最后求出可吃天数。
例
1
牧场上一片青草，每天牧 草都匀速生长．这片牧草可供
10
头牛吃
20
天，或者可供
15头牛吃
1
0
天．问：可供
25
头牛吃几天？
分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到
不变的量．总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分．牧场上原有的草是不变的，
新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新
长出的草是不变的．下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量．
设
1
头牛一天吃的草为
1
份．那么，
10
头牛
20
天吃
200
份，草被吃完；
15
头牛
10
天吃
150
份，草
也被吃完．前者的总草量是
200
份，后者的总草量是
150
份，前者是原有的草加
20
天新长出的草，
后者是原有的草加
10
天新长出的草．
200
－
150
＝
50(
份
)
，
20
－
10
＝
10(
天
)
，
说明牧场
10
天长草
50
份，
1
天长草
5
份．也就是说，
5
头 牛专吃新长出来的草刚好吃完，
5
头牛以
外的牛吃的草就是牧场上原有的草．由此得出，牧场上原有草
(10
－5)
×
20
＝
100(
份
)
或
(15
－
5)
×
10
＝
100(
份
)
．
现在已经知道原有草
100
份，每天新长 出草
5
份．当有
25
头牛时，其中的
5
头专吃新长出来的草 ，
剩下的
20
头吃原有的草，吃完需
100
÷
2 0
＝
5(
天
)
．
所以，这片草地可供
25
头牛吃
5
天．
在例
1
的解法中要注意三点：
(1)
每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的．
(2)
在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的 草，
根据吃的天数可以计算出原有的草量．
(3)
在所求的问题中，
让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计
算出能吃几天．
1
例
2
一个水池装一个进水管和三个同样的出水管．先打开进水管，等水池存了一些水后，再打
开出水管．如果同时打开
2
个出水管，那么
8
分钟后水池空；如果同时打 开
3
个出水管，那么
5
分
钟后水池空．那么出水管比进水管晚开多少分钟？
分析：虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，
“水”相当于“草 ”，进水管进
的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也 与例
1
相似．
出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前 原有的水量，另一部分是开始排水至排
空这段时间内进水管放进的水．因为原有的水量是不变的，所以可 以从比较两次排水所用的时间及排水量
入手解决问题．
设出水管每分钟排出水池的水 为
1
份，则
2
个出水管
8
分钟所排的水是
2
×
8
＝
16(
份
)
，
3
个出水管5
分钟
所排的水是
3
×
5
＝
15(
份
)
，
这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量．两
者相减就是在
8
－
5
＝
3(
分
)< br>内所放进的水量，
所以每分钟的进水量是水管排原有的水，
可以求出原有水的水
量为
解：设出水管每分钟排出的水为
1
份．每分钟进水量
答：出水管比进水管晚开
40
分钟．
例
3
由于 天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草
可供
20
头牛吃
5
天，或可供
15
头牛吃
6
天．照此计 算，可供多少头牛吃
10
天？分析与解：与例
1
不同的是，
不仅没有 新长出的草，而且原有的草还在减少．但是，我们同样可以利用例
1
的方法，求出每天减少的草
量和原有的草量．
设
1
头牛
1
天吃的草为
1
份．
20
头牛
5
天吃
100
份，
15
头牛
6
天吃
90
份，
100
－
90
＝
10(
份
)
，说明寒冷使牧
场
1
天减少青草
10
份，也就是说，寒冷相当于
10
头牛在吃草．由“草地上的草可供
20
头牛吃
5
天”，再加上
“寒冷”代表的
10
头牛同时 在吃草，
所以牧场原有草
(20
＋
10)
×
5
＝
150(
份
)
．由
150
÷
10
＝
15
知，牧场原有
草可供
15
头牛吃
10
天，寒冷占去< br>10
头牛，所以，可供
5
头牛吃
10
天．
例
4
自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩 每分钟走
20
级梯
级，女孩每分钟走
15
级梯级，结果男孩用了5
分钟到达楼上，女孩用了
6
分钟到达楼上．问：该扶梯共有多
少级？< br>
分析：与例
3
比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了 “梯级”，“牛”变成
了“速度”，也可以看成牛吃草问题．
上楼的速度可以分为两 部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度．男孩
5
分
钟走了< br>20
×
5
＝
100(
级
)
，女孩
6
分钟走了
15
×
6
＝
90(
级
)，女孩比男孩少走了
100
－
90
＝
10(
级
)
，多用了
6
－
5
＝
1(
分
)
， 说明电梯
1
分钟走
10
级．由男孩
5
分钟到达楼上，他上楼 的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，
所以扶梯共有
(20
＋
10)
×
5
＝
150(
级
)
．
2
解：自动扶梯每分钟走
(20
×
5
－
15
×
6)
÷
(6
－
5)
＝
10(级
)
，
自动扶梯共有
(20
＋
10)
×
5
＝
150(
级
)
．
答：扶梯共有
150
级．
例
5
某车站在检票前 若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检票的队
伍消失，同时开
4
个检票口需
30
分钟，同时开
5
个检票口需
20
分钟．如果同时打开
7
个检票口，那么需多少
分钟？
分析与解：等候检票的旅客人数在变化，
“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以
用牛
吃草问题的解法求解．
旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原 有旅客，另一部分是开始检票后新来的
旅客．
设
1
个检票口
1
分钟检票的人数为
1
份．因为
4
个检票口
30
分钟通过
(4
×
30)
份，
5
个检票口
20
分钟通过
(5
×
20)
份，说明在
(30
－< br>20)
分钟内新来旅客
(4
×
30
－
5
×< br>20)
份，所以每分钟新来旅客
(4
×
30
－
5×
20)
÷
(30
－
20)
＝
2(
份
)
．假设让
2
个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过 原来的旅客，可以求
出原有旅客为
(4
－
2)
×
30
＝
60(
份
)
或
(5
－
2)
×
20
＝
60(
份
)
．
同时打开
7
个检票口时，让
2
个检票口专门通过新来的旅客，其余的 检票口通过原来的旅客，需要
60
÷
(7
－
2)
＝
12(
分
)
．
例
6
有三块草地，面积分别为< br>5
，
6
和
8
公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一 块草地可供
11
头牛吃
10
天，第二块草地可供
12
头牛吃
14
天．问：第三块草地可供
19
头牛吃多少天？
分析与 解：例
1
是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地．为了解决这个问题，只需将三块草地 的
面积统一起来．
[5
，
6
，
8]
＝
120
．因为
5
公顷草地可供
11
头牛吃
10
天，
120
÷
5
＝
24
，所以
120
公顷草地可
供
11
×
24
＝
264(
头
)
牛吃
10
天．因为
6
公顷草地可供
12
头牛吃
14
天，
12 0
÷
6
＝
20
，所以
120
公顷草地可供
12
×
20
＝
240(
头
)
牛吃
14< br>天．
120
÷
8
＝
15
，问题变为：
120
公顷草地可供
19
×
15
＝
285(
头
)
牛吃几天？
因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：
“一块匀速生长的草地， 可供
264
头牛吃
10
天，或供
240
头牛吃
14
天，那么可供
285
头牛吃几天？”这
与例
1
完全一样．设
1
头牛
1
天吃的草为
1
份．每天新长出的草有
(2 40
×
14
－
264
×
10)
÷
(14
－
10)
＝
180(
份
)
．
草地原有草
(264
－
180)
×
10
＝840(
份
)
．可供
285
头牛吃
840
÷< br>(285
－
180)
＝
8(
天
)
．所以 ，第三块草地可
供
19
头牛吃
8
天
__
3
公务员考试数量关系之行程问题解题原理及方法
两个速度不同的人或车，慢的先行（ 领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。这样的问
题一般称为追及问题。有时，快的与 慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路
程，我们也把它看作追及问题，因为 这两种情况都满足
速度差×时间
=
追及（或领先的）路程
追及（或领先的）路程÷时间
=
速度差
追及（或领先的）路程÷速度差
=
时间
对于有三个以上人或车同 时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此
刻另外的人或车处于什么 位置，他（它）与前两者有什么关系。
分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考。
理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。
< br>（
3
）甲的速度是
a
，乙的速度是
b
，在相同时间内 ，甲、乙一共行的
At+bt=s
t=s/a+b
s
甲
=a*t=a*s/a+b
S
乙
=b*t=b*s/a+b
【例
1
】
甲、
乙两人分别从
A
、
B
两地同时出发，
相向而行。
如果两人都按原定速度行进，
那么
4
小时相遇；
现在两人都比原计划每小时少走
1
千米，那么
5
小时相遇。
A
、
B
两地相距多少千米？
【分析】可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走
1
千米）仍然走
4
小时，那么他
们不能相遇，而是相隔一段路。这段路的长度是多少呢？就是两人
4
小时一共比原来少行的路。由于以现
在的速度行走，他们
5
小时相遇，换句话说，再行
1
小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能
求出他们现在的速度和了。
【解】相隔路程：
1
×
4
×
2
行完相隔路程所需时间：（
5-4
）
速度和
4
×
2/
（
5-4
）
全程
=40
（千米）
4
这道题属于相遇问题 ，它的基本关系式是：速度和×时间
=
（相隔的）路程。但只有符合“同时出发，相
向 而行，经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。不过，当出现“不同时出发”或“没有
相 遇（而是还相隔一段路）”的情况时，应该通过转化条件，然后应用上面的关系式。
【例
2
】小王、小张步行的速度分别是每小时
4.8
千米和
5.4
千米。小李骑车的速度为每小时
10.8
千米。小
王、小张从甲地到乙地，小李从乙地到甲地，他们三人同时出发，在小张与小李相遇
5
分钟后，小王又与
小李相遇。小李骑车从乙地到甲地需多长时间？
【分析】为便于分析，画出线段图
36-1
：
图中
C
点表示小张与小李相遇地点，
D
点表示他们相遇时小王所在地点。
根据题意，小王从
D
点、小李从
C
点同时出发，相向而行，经过
5
分钟相遇。因此，
DC
的长为
这段长度也是相同时间内 ，小张比小王多行的路程。这里的“相同时间”指从三人同时出发到小张与小李
相遇所经过的时间。这段 时间为
1.3
÷（
5.4-4.8
）×
60=130（分）
这就是说，小张行完
AC
这段路（也就是小李行完
CB
这段路）用了
130
分钟，而小李 的速度是小张速度
的
2
（
=10.8
÷
5.4
）倍 ，所以小李行完
AC
这段路只需小张的一半时间（
65
分）。
【解】（留给读者完成，答案是
195
分钟。）
【例
3
】上午
8
点
8
分，小明骑自行车从家里出发，
8
分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家
4
千米的地
方追上小明。然后爸爸立 即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是
8
千米。
问这时是几点几分？
【分析】先画出示意图图
37-1
如下（图
37-1
中
A
点表示爸爸第一次追上小明的地方，
B
点表示他第二次
追上小明的地方）
。
从图
37-1
上看出 ，
在相同时间
（从第一次追上到第二次追上）
内，
小明从
A
点到
B
点，
行完（
8-4=
）
4
千米；爸爸先从
A
点到家，再从家到
B
点，行完（
8+4=
）
12
千米。可见，爸爸的速度是
小明的
（
12
÷
4=
）
3
倍。
从而，
行完同样多的路程
（比如从家到
A
点）
，
小明所用的时间就是爸爸的
3
倍。
5
由于小明从家出发
8
分钟后爸爸去追他，并且在
A
点追上，所以，小明从家到
A
点比爸爸多用
8
分钟。
这样可以算出，小明从家到
A
所用的时间为
8< br>÷（
3-1
）×
3=12
（分），小明爸爸到达
A
点所用时间
4
分。
※
AB
之商等于
3
，
AB
之差等于
8
，则
AB
数分别是：
A=12,B=4
B
（小的数）
=
差÷（商—
1
）
【解】
8
÷（
3-1
）×
3
×
2=24
（分）< br>
【例
4
】
甲、
乙两车分别从
A
、
B
两地同时出发，
相向而行。
甲车每小时行
45
千米，
乙车每小时行
36
干米。
相遇以后继续以原来的速度前进， 各自到达目的地后又立即返回，这样不断地往返行驶。已知途中第二次
相遇地点与第三次相遇地点相距< br>40
千米。
A
、
B
两地相距多远？
【分析】我们同样还是画出示意图
37-2
（图
37-2
中
P
、
M
、
N
分别为第一次、第二次、第三次相遇地点）：
设
AB
两地的距离为“
1
”。由甲、乙两车的速度可以推知：
在相同时
通过演示我们还可以知道，第二次相遇时，甲、乙两车一共行完了
3
个全程（
AB+BM+BA+AM
）；第三
次相遇时，它们一共行完了
5
个全程（
AB+BA+AN+BA+AB+BN
）。
下面，我们只要找出与“
40
千米”相对应的分率（也就是
MN
占全程的几分之几）。
【解】
6
注意：为了保证计算正确，应当在示意图中标上三次相遇时甲、乙两车行的方向。
我们来讨论封闭线路的行程问题。
解决封闭路线中的行程问题，仍要抓住“路程=
速度×时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、时间三
者之间的关系。
封闭路线中的行程问题，可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。在求两个沿封闭路线相向运动的人或物体相遇次数时，还可以借助图示直观地解决。
直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题，实质上也是封闭路线中的行程问题。
【例
5
】甲、乙两名同学在周长为
300
米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑
3.5
米，乙
每秒钟跑
4
米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？
【分析】
要 知道甲还需跑多少米才能回到出发点，
实质上只要知道甲最后一次离开出发点又跑出了多少米。
我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共跑了多远。不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程
是操场周长的
10
倍（
300
×
10=3000
米）。因为甲的速度为每秒钟跑
3.5
米，乙的速度为每秒钟跑
4
米，
由上一讲我们可以知道，这段时间内甲共行
1400
知道甲还需行
100
（
=300-200
）米。
1400
÷
300=4
（圈）……
200
（米）
300-200=100
（米）
【例
6
】如图
38-1
，
A
、
B
是圆的一条直径的两端，小张在
A
点，小王在
B
点，同时出发逆时针而行，第
一周内，他们在
C
点第一次相遇，在
D
点第二次相遇。已知
C
点离
A
点
80
米，
D
点离
B
点
60
米。求这
个圆的周长。
7
【分析】这是一个圆周上的追及问题。从一开始运动到第一次相遇，小张行了
80
米 ，小王行了“半个圆
周长
+80
”米，也就是在相同的时间内，小王比小张多行了半个 圆周长，然后，小张、小王又从
C
点同时
开始前进，因为小王的速度比小张快，要第 二次再相遇，只能是小王沿圆周比小张多跑一圈。从第一次相
遇到第二次相遇小王比小张多走的路程（一 个圆周长）是从开始到第一次相遇小王比小张多走的路程（半
个圆周长）的
2
倍。也就是，前者所花的时间是后者的
2
倍。对于小张来说，从一开始到第一次相遇行了
80
米，从第一次相遇到第二次相遇就应该行
160
米，一共行了
240
米。这样就可以知道半个圆周长是
180
（
=240-60
）米。
【解】（
80+ 80
×
2-60
）×
2=360
（米）
【例
3
】
2
点整以后，经过多长时间时针与分钟第一次垂直、第三次垂直？
【分析】分针的速度比时针快，
2
点整时，分针在时针后面
2
格 ，要使分针与时针第一次垂直，分针应在
时针前面
3
（
=12
÷4
）格。也就是说，这段时间内分针应比时针多走
5
格。而分针每小时走
12
格，时针每
小时走
1
格。
针才能与分针第一次垂直。
每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。
后，时
时针与分针第 三次垂直，
分针应比时针多跑
（
5+12=
）
17
格。
所以要经
日期问题
一、平年过
1
年，星期过
1
天；闰年过
1
年，星期过
2
天。
这个很容易论证的，
365/7=52
……
1
；
366/7=52
……
2
。
所以有平年过
1
年，星期过
1
天，闰年过
1
年，星期过
2
天的说法。
例如，
2006
年
8
月
1
号星期二，问
2008
年
8
月
1
号星期几？
解析：
07
年平年加
1 08
年闰年加
2
就很容易地计算出是星期五。
注意：以“
00
”结尾的年份，能被
400
整除的才是闰年，其余能被
4
整除的是闰年；
星期：
星期
7
天一循环，
一年约
52
个星期< br>（所以有
“幸运
52
”
）
，
还要注意是平年的
2
月还是闰年的
2
月，
若是闰年的，还要注意该
2
月是否包含在计算期间内。
8
二、紧邻的两日：多的在前，垫后；多的在后，垫前（看多，前后相反）。
解释：
例如某月有
5
个星期四，
4
个星期五。星期四多，且星期四在星期五之前，则星期四垫后，该月月底必是
星期四；
例如某月有
4
个星期四，
5
个星期五。星期五多，且星期五在星期四之后，则星期五垫前，该月月初必是
星期五。
分析：
第一种情况，星期五在星期四之后，为什么会少了一个呢？一定是被挤到下月 初去了，可立即推出该月月
底是星期四。
第二种情况，星期四在星期五之前，为什么 会少了一个呢？一定是被挤到上月底去了，可立即推出该月月
初是星期五。
如果不是求月初或者月底，而是求其他日的星期数，则通过加减
7
的倍数之后的余数来求解
要求解答的那一天是星期几。
例如：
1
日、
8
日（
1+7
）、
15
日（
1+14
）、
22
日（
1+21
）、
29
日（
1+28
）的星期数相同。
不信的拿出自己的手机日历好好试试。
题目：
2008
年
8
月
8
日奥运会开幕日是星期五
!
请问
1981
年
10
月
1
日是星期几
?
答案：周四
口诀：平年就 是
1,
闰年再加
1,
小月就是
2,
大月要补
1,7
天一循环
,28
年一周期
解答：
28
年一周期，所以
2008-28=1980
，
1980
年的
8
月
8
日是周五
1
年就是
1
，
从
1980
年
8
月
8
日到
1981
年
8
月
8
日经历
365
天，
一年就是
1,
周期数加
1
，所以
1981
年
8
月
8
日是周六，
81
年
8.8--81.10.8 ,
中间隔
2
个月
,
一月就是
2
所以加
4,
有个大月
,
再加
1,
一共加
5
，也就是
10
月
1
日应该是周
六加上五天，那天是周四
闰日
(
该年经过了
2
月
)
再加
1:
意思是例如
1980
是闰年
;1980.1
月
1
日是星期
2,;
那么
1999
年
1
月
1
日呢
?
解
:99-80=18,
中间
19
年
;19
年就是
19'
80,84,88,92,96
年是闰年
,5
个闰年
,
其中的
2
月都在其中
,
根据润日再加
1,
加
5,
19+5=24:24/7=3.....
余
3
所以
1999
年
1
月
1
日是星期
2
加
3=
星期
5
时钟问题详细讲解
一、重合问题
9
1
、钟表指针重叠问题
中午
12
点，时针与分针完全重合，那么到下次
12
点时，时针与分针重合多少次？（
2006
国家考题）
A
、
10 B
、
11 C
、
12 D
、
13
答案
B
2
、中午
12
点，秒针与分针完全重合，那么到下午
1
点时，两针重合多少次？
A
、
60 B
、
59 C
、
61 D
、
62
答案
B
讲讲第
2
题，如果第
2
题弄懂了第
1
题也就懂了！
给大家介绍我认为网友比较经典的解法：
考友
1.
其实这个题目就 是追击问题，我们现在以钟表上的每一刻度为一个单位，这时秒针的速度就是是分
针速度的
60
倍，秒针和分针一起从
12
点的刻度开始走，多久分针追上时针呢？我们列个方程就可以了，
设分针的速度为
1
格
/
秒，那么秒针的速度就是
60
格
/
秒，设追 上的时候路程是
S
，时间是
t
，方程为
(1+60)t
＝< br>S
即
61t
＝
S
，中午
12
点到下午
1
点，秒针一共走了
3600
格，即
S
的范围是
0
t
的范围就
是
0
0
t
只能取整数，所以
t
为
1
～
59
，也就是他们相遇
59
次。
第
1
题跟这个思路是一样的，大家可以算算！
给大家一个公式吧
61T
＝
S
（
S
为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格数，
确定
S
后算出
T
的
最大值就知道相遇多少次了）
如第
1
题，题目中最小单位为分针，题目所要求的时间为
12
小时，也就是说分针走了
720
格
T(max)=720/61.8
，取整数就是
11
。
1
、钟表指针重叠问题
中午
12
点，时针与分针完全重合，那么到下次
12
点时，时针与分针重合多少次？
A
、
10 B
、
11 C
、
12 D
、
13
考友
2.
这道题我是这么解
,
大家比较一下
:
解
:
可以看做追及问题
,
时针的速度是
:1/12
格
/
分分针的速度是
:1
格
/
分
. < br>追上一次的时间
=
路程差
/
速度差
=60/(1-1/12) =720/11
分
从
12
点到
12
点的总时间是
720
分钟
,
所以重合次数
n=
总 时间
/
追上一次的时间
=720/720/11
次
二、关于成角度的问题，我推荐个公式及变式给你：
设
X
时时，夹角为
30X
，
Y
分时，分针追时针
5.5
，设夹角为
A.
（请大家掌握）
钟面分
12
大格
60
小格每一大格为
360
除以
12
等于
30
度，
每过一分钟分针走
6
度，
时针走
0.5
度，
能追
5.5
度。
1.
【
30X< br>－
5.5Y
】或是
360
－【
30X-5.5Y
】【 】表示绝对值的意义（求角度公式）变式与应用
2.
【
30X
－
5.5Y
】
=A
或是
360
－【
30X-5.5Y
】
=A
（已知角度或时针或分针求其中一个的公式。
3.
由变式
2.
可以变为
10
30
×〔
(X-Y/5)
＋
Y/60]=A
或
30
×｛〔（
X+12)-Y/5]
＋
Y/60}=A
说明变式
3.
实质上完全等同变式
2.
例题
3
〔
2000
年国家考题〕
某时刻钟表时间在
10
点到
11
点之间，此时刻再过
6
分钟后的分针和此时刻
3
分，钟前的时针正好方向相
反且在一条直线上，则此时刻为（）
A.10
点
15
分
B.10
点
19
分
C.10
点
20
分
D.10
点
25
分
思路
1.
设时刻正好方向相反且在一 条直线上的分针为
Y,
用变式
2
解出
30
×
10
－
5.5Y=180
解出
Y=21
又
9/11
分，
Y-6=15
又
9/11
分
,
本题最接近
A.(
说明此国考题不够严谨！）
胡伟东见解：上面解法不严紧
30*10-5.5y-9*0.5=180
（不懂的慢慢理解）
思路
2.
根据钟表的特点：首先看时针在
10
点到
11
点之间，那么根据“正好方向
相反且在一条直线上”分针必在
4
点到
5
点之间（相对时针而言），那么在
6
分钟以前分针必在
3
点附近
（相对时针而言），运用排除法选
A
知识网络
时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。
关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时
钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。
时钟盘面被等分为
12 < br>个大格，那么每个大格之间的夹角为
360
°÷
12=30
°。每个大 格又被分成
5
个小格，
每个小格之间的夹角为
30
°÷
5 =6
°。在钟表上时针与分针是同时运动的，它们的关系是：时针走
1
小时
转过
30
°，分针转过
360
°，恰为一个圆周。
重点·难点
在时钟问题中求解两针重合、两针垂直、两针成直线等问题也都是对求两 针夹角问题的扩展和延伸。因此
只要能够透彻地分析、解答了两针夹角问题，其他问题则有章可循。
学法指导
解这类问题时，通常分别考虑时针与分针的转动情况，再根据条件综 合在一起，然后求解，另外，还需要
注意全面考虑多种可能的情况。
经典例题
例
1
如图
1
，在时钟盘面上，
1
点
45
分时的时针与分针之间的夹角是多少？
11
思路剖析
将时钟盘面分成
12
个分格，那么在
1
点
45
分，分针必落在
9
这个位置上，而时钟针不在
1
这
_______
个
位置上，而是在
1
和
2
之间的某个位置上，也就是要求出从
1
点到
1
点
45
分，
45
分钟的时间时钟转过的
角度。时针走
60
分钟转过
360
°÷
12=30
°，那么走
45
分钟，转过。而且从
1
点
45
分时时钟盘面上时针、
分针的位置易知，从
9
点整到
13
点整之间包含有
4
个大格。那么此时时针与分针的夹角是这两部分角度的
和。
解答
点津
或用变式
2. 360-（
30
×
1
－
5.5
×
45
）＝142.5
°（思考为什么用
360
来减，当然在考题中选择题答案是唯一
的好办！）
对于求两针夹角的问题，我们都可以按照例
1
的思路求解。从此题的求解中，可以总结出如下的规律性结
论：在
1
点
45
分时，两针夹角：，那么在
a
点
b
分 时，两针夹角：，为了避免
a
5
的情况（分针在时
针前），通 常
a
采用
24
时计时法；若
a>b
÷
5
（分针在时针后），则
a
采用
12
时计时法。如果所求的角度
是大于
180
°的，那么需与
360
°求差后求出的值为最后结果。
12
例
2
从
5
时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？
思路剖析
时针与分针直线也就是说两针的夹角为
180
°。从
5
时整开始时 ，时针在一个小时之内从
5
运转到
6
，分针
从
12
开始在一个小时之内会旋转
360
°，必然在此期间有一个时刻时针与分针成了直线，从图< br>2
中易知此
时刻必然落在
11
与
12
之间。此题是已知两针夹角求时间的问题，与例
1
正好是个相反的过程。我们仍可
按照例
1
得出的规律求解。当两针成直线时，时间为
5
点几分，那么
a=5
，由于分针位置在
11
至
12 之间，
则
b>55
，那么
b
÷
5>11
，a
5
，应采用
24
小时计时法。只须解一个方程，便可求解此题。
解答
时针与分针第一次成直线，它们的夹角为
180
°，设从
5
时整开始，经过
b
分后，时针与分针第一次成直
线，这时分针落在
11
与
12 之间，即
b
÷
5>11
，而
a=5
5< br>，则采用
24
时计时法，可得方程：
那么可知在
5
时
60
分时，即
6
时整，两针成直线。
或者
360
－〔
30
×5
－
5.5
×
y
〕＝
180
解出
y
＝
60
（变式
1.
好理解些）以下类似略了
答：从
5
时整开始，经过
60
分钟后，时针与分针第一次成直线。
例
3
从
6
时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？
思路剖析
时针与分针的重合，在第一次它们的夹角为
360
°，那么解决两针重合问题的方法与求解两针 成直线问题
的方法类似。从
6
点整开始，一个小时之内，时针从
6
转到
7
；分针从
12
开始转过
360
°，在此期间必有
一时刻两针重合。
13
解答
重合时两针都落在
6
与
7
之间，因此
b
÷
5>6
，而
a=6
5，则采用
24
时计时法，经过
b
分钟后两针重合，
得方程：
例
4
在
8
时多少分，时针与分针垂直？
思路剖析
在
8
时多少分时，两针垂直应有两种情况。如图
3
和图
4
所示。图
3
是分针在时针后，此时的垂直夹角是
90
°。图
4
是分针在时针前，此时的垂直夹角是
270
°。确定了夹角之后，可根据例
1
得出的规律进行运
算。
解答
分为两种情况：
（
1
）分针在时针后，
a=8,a>b
÷
5
，可采 用
12
时计时法，设从
8
时整开始，经过
b1
分后，时针与分针第一
次垂直，夹角为
90
°。得方程：
（
2
）时针在分针后，
a=8
，
a
5
，可采用
24
时计时法，设从
8
时整开始，经过
b2
分后，时针与分针第
二次垂直，夹角为
2700
。得方程：
14
由于求得
b2=60
分，那么经过
60
分钟，即在
9
点钟时，两针第二次垂直。但题意要求是在
8
点几分时垂
直，所以此种情况可舍。
答：在
8
小时
点分时，时针与分针垂直。
例
5
如图
5
所示的时间是
8
点
20
分差一些。如果时针和分针同
6
的距离正好相等，试问是几点几分？
思路剖析
由于时针和分针同
6
的距离正好相等，
从图中可知，
时针和分针与
6
的距离都是两个大格再加上部分大格。
注意到时针多走的部分大格是时针与
8
的距离，即在几分钟内时针走的格数，而分针多出的部分大格是分
歧针与
4
的距离，即
40
个大格减去分针几分钟内走的格数。而这两部分是相等的。由于分针走
5
分钟走
1
个大格，那么
1
分钟就走个大格，而时针
60
分钟走
1
个大格，那么
1
分钟走个大格。由此可以将经过几分
钟后时针与
8
的距离和分针与
4
的距离表示出来，得到方程，进而求出结果。
解答
15
发散思维训练
1.
求下面各种盘面上的时针与分针之间的夹角。
（
1
）
3
时
25
分；（
2
）
8
时
40
分；（
3
）
9
时
12
分
2.
从
9
点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线？
3.
小明同时开动两个钟后发现，其中的一个钟每小时慢
3
分钟，而另一个钟每小时快
2
分钟。过了一段时
间他再去看这两个钟，发现那个快的钟正好比慢的钟快
1
小时，问小明过了多长时间去看的钟？
4.
时针现在表示的时间是
15
时整，那么分针旋转
2002
周后，时针表示的时间是几时？
5.
钟面上的时针和分针同时旋转，在相同 的时间内分针旋转过的度数是时针旋转度数的多少倍？
6.
一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟？
7.
时钟的分针和时针在
24
小时中，形成过几次直角？
8.
时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线？
9.
在一天的第六个小时，小月看了一下表，分针正接近时针，还差
3
分的距离就重合。求现在是几点钟？
参考答案
1.
解：
16
2.
解：时针与分针第一次成直线，即它们的夹角为
180
。设从
9
点整开始，经过
b
分后，时针与分针第一次
成直线，这时针针必落在
3
与
4
之间，即
b
÷
5<4
，而
a=9>b
÷
5
，可采用
12
时计时法，得到方程：
3.
解：快的钟比慢的钟每小时快
3+2=5
（
分钟），
1
小时
=60
分钟，快出
60
分钟则需经过
60
÷
5=12
（小时）答：小明过了
12
小时去看的钟。
4.
解：分针旋转
1
周经过的时间是
1
小时，那么
2002
周后经过的是
2002
个小时，一天有
24
小时，
20 02
÷
24=83
……
10
，即旋转
2002
周之后经过了
83
天，还多
10
个小时，而现在的时间是
15
时，
15+10=25
，
25-24=1
（
小时）。答：当分针旋转
2002
周之后，时针表示的时间是
1
时。
5.
解：
由于在相同的时间内分针旋转的度数是时针旋转度数 的多少倍是一个固定的值，
那么不妨看经过
1
个
小时，两针各旋转多少度。
1
小时，时针旋转整个表盘的，而分针旋转一 周。因此有：
1
÷
=12
（
倍）。
答：相同时间内分针旋转过的度数是时针旋转度数的
12
倍。
6.
解：分针追上时针即两针重合，设在
9
点
b
分时两针重合，夹角为
360
°，采用
24
时计时法。
17
7.
解：因为时针在
1
分钟内转动
30
°÷
60=0.5
°，分针
1
分钟转动
360
°÷
6=6
°，设：经过
x
分后 ，时针
与分针成为直角，那么有方程
x
×（
6
°
-0.5< br>°）
=90
°，故
x=16
。即：一天的开始时，两针都指
1 2
，两针在
16
分钟以后，第一次形成直角。所以，下式成立：
16
×
n=60
×
24
，故
n=88
。但是，两针 到下次重合前，
形成的角依次是
90
°、
180
°、
270
°
wwwGG
、
360
°（相当于
0
°），其中， 符合题意的只有
90
°和
270
°二个。因此，
24
小时内，时针和分针可以形成
44
次直角。
8.
解：
设时针和分针成一条直线，
所需时间为
x
分钟，
这样，
分针在表盘上转动
6x
°，
因为分针
1
分钟 转
6
°，
时针
1
分钟转
0.5
°，时针则转了< br>0.5x
°，那么两针之差相差
180
°。
6x
°
- 0.5x
°
=180
°
5.5x
°
=180
°
x=32
。答：经过
32
分钟两针可以成一条直线。
9.
解：一天的第六个小时，应从
5
点钟开始算起。设从
5
点开始经
b
分钟，时针和分针满足题中给出的要
求。由于分针在一分钟里， 顺时针旋转
6
°，而时针一分钟里旋转
0.5
°，分针与时针相差
3
分，那么两针
夹角
6
°×
3=18
°。
a=5，
a>b
÷
5
，则采用
12
时计时法
时钟问题
1
“时间就是生命”。自从人类发明了计时工具——钟表，人们 的生活就离不开它了。什么时间起床，什么
时间吃饭，什么时间上学……全都依靠钟表，如果没有钟表， 生活就乱套了。
时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。大家都知道，钟面的一周分为
60
格，分针每走
60
格，
时针正好走
5
格，所以时针的速度是分针速度
垂直、两针成直线、两针成多少度角提出 问题。因为时针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动，
所以经常将时钟问题转化为追及问题来解 。
18
例
1
现在是
2
点，什么时候时针与分针第一次重合？
分析：如右图所示，
2
点分针指向
12
，时针指向
2
，分针在时针后面
例
2
在
7
点与
8
点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？
分析与解：
7
点时分针指向
12
，时针指向
7
（ 见右图），分针在时针后面
5
×
7
＝
35
（格）。时针与分 针垂
直，即时针与分针相差
15
格，在
7
点与
8
点之间，有下图所示的两种情况：
（
1
）顺时针方向看，分针在时针后面
15
格。从
7
点开始，分针要比时针多走
35-15=20
（格），需
（
2
）顺时针方向看，分针在时针前面
15
格。从
7 < br>点开始，分针要比时针多走
35
＋
15
＝
50
（格） ，需
例
3
在
3
点与
4
点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？
分析与解：
3
点时分针指向
12
，时针指向
3
（见右图），分针在时针后面
5×
3
＝
15
（格）。时针与分针在
一条直线上，可分为时针与分 针重合、时针与分针成
180
°角两种情况（见下图）：
19