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2021年1月23日发(作者：好的歌名)
一、十字交叉法


十字交叉法是数算里面的一个重要方法，
很多比 例问题，
都可以用十字交叉法来
很快地解决，而在资料分析中，也能够派上很大用场，所以应该 认真掌握它。


（一）原理介绍



通过一个例题来说明原理。


例：某班学生的平均成绩是
80分，其中男生的平均成绩是
75
，女生的平均成绩
是
85
。求该 班男生和女生的比例。


方法一：男生一人，女生一人，总分
160
分，平均分
80
分。男生和女生的比例
是
1
：
1
。


方法二：假设男生有
A
，女生有
B
。（
A*75+B85
）
/
（
A+B
）
=80


整理后
A=B
，因此男生和女生的比例是
1：
1
。


方法三：

男生：
75 5

80


女生：
85 5


男生：女生
=1
：
1
。



一个集合中的个体，只有
2
个不同的取值，部分个体取值为
A< br>，剩余部分取值为
B
。平均值为
C
。求取值为
A
的个 体与取值为
B
的个体的比例。假设
A
有
X
，
B有
（
1-X
）。


AX+B
（
1-X
）
=C

X=
（
C-B
）
/
（
A-B
）


1-X=
（
A-C
）
/
（
A-B
）


因此：
X
：（
1-X
）
=
（
C-B
）：（
A-C
）


上面的计算过程可以抽象为：


A C-B

C

B A-C

这就是所谓的十字相乘法。


十字相乘法使用时要注意几点：


第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。


第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。


第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。



（二）例题与解析


1
．某体育训练中心，教练员中男占
90
％，运动员中男占
80
％，在教练员和运动
员中男占
82
％，教练员与运动员人数之比是


A
．
2
：
5 B
．
1
：
3 C
．
1
：
4 D
．
1
：
5

答案：
C
分析：



男教练：
90% 2%

82%


男运动员：
80% 8%

男教练：男运动员
=2%
：
8%=1
：
4


2.
某公司职员
25
人，每季度共发放劳保费用15000
元，已知每个男职必每季度
发
580
元，

每个女职员比每个男职员每季度多发
50
元，该公司男女职员之比
是多少


A
．2∶1
B
．3∶2

C. 2∶3
D
．1∶2

答案：
B

分析：职工平均工资
15000/25=600


男职工工资

：
580 30

600


女职工工资：
630 20

男职工：女职工
=30
：
20=3
：
2


3.
某城市现在有
70
万人口，如果
5年后城镇人口增加
4%
，农村人口增加
5.4%
，
则全市人口将 增加
4.8%
。现在城镇人口有（

）万。


A 30 B 31.2 C 40 D 41.6


答案
A


分析：城镇人口：
4% 0.6%

4.8%


农村人口：
5.4% 0.8%


城镇人口：农村人口
=0.6%
；
0.8%=3
：
4 70*
（
3/7
）
=30


4
．某 班男生比女生人数多
80%
，一次考试后，全班平均成级为
75
分，而女生的
平均分比男生的平均分高
20%
，则此班女生的平均分是：




A
．
84
分


B . 85
分


C . 86
分


D . 87
分


答案：
A

分析：

假 设女生的平均成绩为
X
，
男生的平均
Y
。
男生与女生的比例 是
1.8
：
1=9
：
5
。



男生：
Y 9

75


女生：
X 5


根据十字相乘法原理可以知道
X=84


5
．某高校
2006
年度毕业学生
7650
名，比上年度增长
2 % .
其中本科毕业生
比上年度减少
2 % .
而研究生毕业数量比上年度增加
10 % ,
那么，这所高校今
年毕业的本科生有：


A
．
3920
人


B
．
4410
人


C
．
4900
人


D
．
5490
人


答案：
C

分析：去年毕业生一共
7500
人。
7650/
（
1+2%
）
=7500
人。



本科生：
-2% 8%

2%


研究生：
10% 4%


本科生：研究生
=8%
：
4%=2
：
1
。
7500*
（
2/3
）
=5000 5000*0.98=4900


6.
某市按以下规定收取燃气费 ：
如果用气量
60
立方米，
按每立方
0.8
元收费；
如果用气量超过
60
立方米，则超过部分按每立方
1.2
元收费。某用户< br>8
月份交
的燃气费平均每立方米
0.88
元。则该用户
8月份的燃气费是（

）


A 66
元
B 56
元
C 48
元
D 61.6
元


答案：
A

解析：方法一：整除法


费用必须能被单价除尽（类似用电、用水也好，使 用煤气也好，总使用量一般是
整数，这是关键），已知单价
0.88
元，其中含有11
这个因子，只有
A
满足。


方法二：十字相乘法


标准用气
0.8 0.32

0.88

超标用气
1.2 0.08

标准用气：超标用气
=0.32
：
0.08=4
：
1=60
：15
所以
8
月份的燃气费
=
（
60+15）
*0.88=75*0.88=66


7.
资料分析：


2006
年
5
月份北京市 消费品市场较为活跃，实现社会消费品零售额
272.2
亿元，创今年历史第二高。据统计，< br>1-5
月份全市累计实现社会消费品零售额
1312.7
亿元，比去年同期增长
12.5
％。



汽车销售继续支撑北京消费品市 场的繁荣。
5
月份，全市机动车类销售量为
5.4
万辆，
同比增长< br>23.9
％。
据对限额以上批发零售贸易企业统计，
汽车类商品
当月实 现零售额
32.3
亿元，

占限额以上批发零售贸易企业零售额比重的
20.3
％。



据对限额以上批发零售贸易企业统计，
5
月份，家具类、建筑及装潢 材料类
销售延续了
4
月份的高幅增长，持续旺销，零售额同比增长了
50％。其中，家
具类商品零售额同比增长
27.3
％，建筑及装潢材料类商品零售额 同比增长
60.8
％。
同时由于季节变换和节日商家促销的共同作用，
家电销 售大幅增长，
限
额以上批发零售贸易企业家用电器和音像器材类商品零售额同比增长
1 3.6
％。


123
．
2006
年
5< br>月份，限额以上批发零售贸易企业中，家具类商品零售额占家具
类和建筑及装潢材料类商品零售额 的比例是：


A
．
27.4
％
B
．
29.9
％
C
．
32.2
％
D
．
34.6
％


答案
:A

解析
:
方法一：比较常规的做法假设
2005
年家具类所占比例为
X
。


X*
（
1+27.3%
）
+
（
1-X
）
*
（
1+60.8%）
=1+50%

X=32.2%
。


[32.2%*
（
1+27.3%
）
]/
[32.2%*
（
1+27.3%
）
+
（
1-32 .2%
）
*
（
1+60.8%0
）
]=27.4%

方法二：

十字相乘法


家具
27.3%
，近似为
27%
；


建筑
60.8%
，近似为
61%
。


家具：
27% 11%

50%

建筑：
61% 23%

家具：建筑
=11%
：
23%
大约等于
1
：2
。注意这是
2006
年
4
月份的比例。


建筑类
2006
年所占比例为：
1*
（
1+27.3%）
/[1*
（
1+27.3%
）
+2*
（
1+ 60.8%
）
=1.27/
（
1.27+3.2
）
=1.2 7/4.5=28%
。和
A
最接近。



二、浓度问题


（一）基本知识点：


1
、溶液
=
溶质
+
溶剂；
2
、浓度
=
溶质
/
溶液；
3
、溶质
=
溶液
*
浓度；
4
、溶液
=
溶质
/
浓度；


（二）例题与解析


1.
甲容器中有浓度为
4
％的盐水
250
克，乙容器中有某种浓度的盐水若干克。
现从乙中取出
750
克盐水，放人甲容器中混合成浓度为
8
％的盐水。
问乙容器中
的盐水浓度约是多少 ？


A. 9.78
％
B. 10.14
％
C. 9.33
％
D. 11.27
％


答案：
C

解析：


方法一：设浓度为ｘ


（
250*4
％＋750*
ｘ）／（
250
＋
750
）＝
8
％< br>

ｘ＝
9.33
％


方法二：设浓度为ｘ



甲：
4 X-8

8


乙：
X 4


（
X-8
）：
4=250
：
750=1
：
3

X=9.33%


2
．一个容器内有若干克盐水。往容器内加入一些水，溶液的浓度变为
3%
，再加
入同样多的水，溶液的浓度为
2%
，问第三次再加入同样多的水后，溶液的浓度
是多少
?

A
．
1.8% B
．
1.5% C
．
1% D
．
0.5%

答案：
B

解析：设加入ｘ的水

；
3< br>／（
100
＋ｘ）＝
2
／
100
；ｘ＝
50
；
3
／
100
＋
50
＋
50
＝< br>1.5
％



3.
现有一种预防禽流感药物配 置成的甲、乙两种不同浓度的消毒溶液。若从甲
中取
2100
克，乙中取
70 0
克混合而成的消毒浓度为
3%
；若从甲中取
900
克，乙
中取
2700
克，则混合而成的溶液的浓度为
5%
。则甲、乙两种消毒溶液的 浓度分
别为：




A
、
3% 6%

B
、
3% 4%

C
、
2% 6%

D
、
4% 6%

答案：
C

解析：设甲的浓度为ｘ，乙的浓度为ｙ


1
（
2100x+700y
）
/2800=3%

2 (900x+2700y)/3600=6%

1÷2
快速变形后得到：５（３ｘ＋ｙ）＝３（ｘ＋３ｙ）


ｙ＝３ｘ



4.
甲、乙两瓶酒精溶液分别重
300
克和
120
克；甲中含酒精
120
克，乙中含酒
精
90
克。
问从两瓶中应各取出多少克才能兑成浓度为
50
％的酒精溶 液
140
克？


A
甲
100
克，

乙
40
克
B
甲
90
克，

乙
50
克


C
甲
110
克，

乙
30
克
D
甲
70
克，

乙
70
克


答案：
A

解析：甲浓度为
40%,
乙浓度为
75
％，


甲中取
A
，

乙中取
140-A


甲：
40 25

50

乙：
75 10

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