小学数学《数学游戏》练习题(含答案)
余年寄山水
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2021年01月23日 12:09
最佳经验
本文由作者推荐
-安溪特产
小学数学《数学游戏》练习题（含答案）
（一）
智取火柴
【例
1
】
桌上放着
100
根火柴，甲、乙二人轮流取，每次取
1
～
4
根，规定谁取到 最后一根谁获胜
.
假定
双方都采用最佳方法，甲先取，谁一定获胜？给出一种获胜方法
.
分析：乙一定获胜，甲取几根，乙就接着取
5
减几根火柴
.
甲取几根，乙取
4
减几根可以么？
不可以，那样的话甲取
4
根
，乙就没法取了
.
甲取几根，乙取
6
减几根可以么？不可以，那样的话甲取
1
根，乙就没法取了
.
这里我们把（
1+4
）根火柴看成一组，
100
共有< br>20
组，因为甲先取，所以每一组乙都可以取到最后一根
.
[前铺
]
桌子上放着
10
根火柴，甲、乙二人轮流每次取走
1～
2
根
.
规定谁取走最后一根火柴谁获胜
.
如果
双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
分析：如果获胜方在最后取得最 后一根火柴，那么在倒数第二次取时，必须留给对方
3
根，要想留给对
方
3< br>根，倒数第三次取时，必须留给对方
6
根
.
要想留给对方
6< br>根，倒数第四次取时必须留给对方
9
根，
而甲每次取完都能留给乙
3< br>的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，甲必胜
.
[
拓展 一
]
在例
1
中将“每次取走
1
～
4
根”改 为“每次取走
1
～
6
根”，其余不变，情形会怎样？
< br>分析：由例
1
的分析知，只要始终留给对方（
1+6=
）
7< br>的倍数根火柴，就一定获胜
.
因为
100
÷
7
＝14
……
2
，所以只要甲第一次取走
2
根，剩下
98< br>根火柴是
7
的倍数，以后总留给乙
7
的倍数根火柴，甲必胜
.
由例题看出，
在每次取
1
～
n
根火柴，
取到最后一 根火柴者获胜的规定下，
谁能做到总给对方留下
（
1+n
）
的倍数根 火柴，谁将获胜
.
[
拓展二
]
将例
1
中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形
又将如何？
分析：最后留给对方
1
根火柴者必胜，按照例
1
中的 逆推的方法分析，只要每次留给对方
5
的倍数加
1
根火柴必胜
.甲先取，只要第一次取
4
根，剩下
96
根（
96
除以< br>5
余
1
），以后每次都将除以
5
余
1
的根< br>数留给乙，甲必胜
.
由此看出，
在每次取
1
～
n< br>根火柴，
取到最后一根火柴者为负的规定下，
谁能做到总给对方留下
（
1+n
）
的倍数加
1
根火柴，谁将获胜
.
[< br>小结
]
我们可以把解决这类问题的一般方法总结为余数问题
.
，即如果 有余数，则先取者胜，且取余数根
数；如果没有余数，则后取者胜，每“回合”共取
N+1根
.
【例
2
】
甲、乙两人轮 流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不
能有重叠部分，
放好的硬币不再移动
.
谁放了最后一枚，
使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候 就
赢了
.
说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略
.
分析 ：采用“对称”思想
.
设想圆桌面只有一枚硬币那么大，当然甲一定获胜
.
对 于一般的较大的圆桌面，
由于圆是中心对称的，甲可以先把硬币放在桌面中心，然后，乙在某个位置放一 枚硬币，甲就在与之中
心对称的位置放一枚硬币
.
按此方法，只要乙能找到位置放一枚 硬币，根据圆的中心对称性，甲定能找到
与这一位置中心对称的地方放上一枚硬币
.
由 于圆桌面的面积是有限的，最后，乙找不到放硬币的地方，
于是甲获胜
.
[
巩固
]
今有两堆火柴，一堆
35
根，另一堆
24
根
.
两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能
不取
.
规 定取得最后一根者为赢
.
问：先取者有何策略能获胜？
分析：本 题虽然也是取火柴问题，但由于火柴的堆数多于一堆，故本题的获胜策略与前面的例题完全不
同
.
先取者在
35
根一堆火柴中取
11
根火柴 ，
使得取后剩下两堆的火柴数相同
.
以后无论对手在某一堆取
几根火柴，你只 须在另一堆也取同样多根火柴
.
只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后
一根火柴总会被你拿到
.
这样先取者总可获胜
.
请 同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，例如两堆都是
35
根火柴，那 么
先取者还能获胜吗？
[
拓展
]
有
3
堆火柴，分别有
1
根、
2
根与
3
根火柴
.
甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的根数不限，
规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获 胜
.
如果采用最佳方法，那么谁将获胜？
分析：谁在某次取过火柴之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能取胜
.
甲先取，共有六种取法：从第
1
堆里取
1
根，从第
2
堆里取
1
根或
2
根；第
3
堆里取
1< br>根、
2
根或
3
根
.
无论哪种取法，乙采取正确的取法 ，都可以留下两堆数目相等的火柴（同学们不妨自己试试），所以
乙采用最佳方法一定获胜
.
【例
3
】
有
1994
个球 ，甲乙两人用这些球进行取球比赛
.
比赛的规则是：甲乙轮流取球，每人每次取
1个，
2
个或
3
个，取最后一个球的人为失败者
.
（
1
）甲先取，甲为了取胜，他应采取怎样的策略？
（
2
）乙先拿了
3
个球，甲为了必胜，应当采取怎样的策略？
分析：为了叙述方便，把这
1994
个球编上号，分别为
1
～
1994
号
.
取球时先取序号小的球，后取序号大
的球
.
还是采用倒推法
.
甲为了取胜，必须把
1994
号球留给对方，因 此甲在最后一次取球时，必须使他自
己取到球中序号最大的一个是
1993
（也许他取 的球不止一个）
.
为了保证能做到这一点，就必须使乙最
后第二次所取的球的序号为< br>1990
（
=1993-3
）～
1992
（
=199 3-1
）
.
因此，甲在最后第二次取球时，必须
使他自己所取的球中序号最大 的一个是
1989.
为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第三次所取球的
序号为< br>1986
（
=1989-3
）～
1988
（
=198 9-1
）
.
因此，甲在最后第三次取球时，必须使他自己取球中序号
最大的一 个是
1985
，…
.
把甲每次所取的球中的最大序号 倒着排列起来：
1993
、
1989
、
1985
、…
.
观察这一数列，发现这是一
等差数列，公差
d=4
，且这些数被
4
除都余
1.
因此甲第一次取球时应取
1
号球
.
然 后乙取
a
个球，因为
a+
（
4-a
）
=4
，所以为了确保甲从一个被
4
除余
1
的数到达下一个被
4
除 余
1
的数，甲就应取
4-a
个球
.
这样就能保证甲必胜.
由上面的分析知，甲为了获胜，必须取到那些序号为被
4
除余
1
的球
.
现在乙先拿了
3
个，甲就应拿
5- 3=2
个球，以后乙取
a
个球，甲就取
4-a
个球
.
所以，
（
1
）甲为了获胜，甲应先取
1
个球，以 后乙取
a
个球，甲就取
4-a
个球
.
（
2
）乙先拿了
3
个球，甲为了必胜，甲应拿
2
个球，以后乙取
a
个球，甲就取
4-a
个球
.
【例
4
】
有一种“抢某个数字”的游戏，是 两个人从自然数
1
开始轮流报数，规定每次至少报几个数与
至多报几个数
(< br>都是自然数
)
，最后谁报到规定的“某个数字”为胜．如“抢
50”游戏，规定 每次必须报
1
．
2
个自然数，从
1
开始，谁抢报到
50
为胜．例如甲先报
l
，乙就可接着报
2
或
2
，
3
；若乙报
2
，甲就
可接着报
3
或
3，
4
；若乙报
2
，
3
；甲就可接着报
4
或
4
，
5
．依次下去，谁能报到
50
为胜．如果你是甲，
并且先报数，有没有必胜的策略
?
分析：
由于每次必须报1
～
2
个自然数，
那么甲先报
1
次后，
就可保 证每次与乙刚报的数字数目之和为
3
．
如
乙报
1
个数，甲就 接着报
2
个数；若乙报
2
个数，甲就接着报
1
个数．因此， 甲若想必胜，报完第一次
数剩下的数的个数必须是
3
个倍数才可以．而
50= 3
×
16+2
，因此甲有必胜的策略：甲先报
1
，
2
，然后，
乙若报
1
个数，甲就报
2
个数；乙若报
2
个数，甲就报
1
个数．
[
拓展
]
若 是抢别的数字，规定每次必须报别的一定数目的自然数，先报数的人还有没有必胜的策略
?
分析：借鉴前面经验，若是“抢
40
”游戏，规定每次必须报
1
～< br>3
个自然数，从
1
开始轮流往后报数．若
甲先乙后，则乙有必胜的策略 ．因为乙可以保证每次与甲刚报完的数字数目之和为
4
，而
40=4
×
10
刚好
是
4
的倍数．
推广开来，若是“抢数字
a
”游戏，每次必须报
1
～
n
个自然数，从
1
开 始轮流往后报数，且甲先乙后，
那么会有两种情况：
情况
1：若
a
是
(1+n)
的整数倍，则后报数的乙有必胜的策略；
情况
2
：
若
a
不是
(1+n)
的整数倍，
则先报数的甲有必胜的策略，
且甲先报的数字个数必须是数字
.
除以
(1+n)
的余数．
说明：
“抢数字”游戏还有很多与之类似的 变形游戏
.
如果你对“抢数字”游戏的规则与玩法非常熟悉的
话，那么类似的变形游戏 就会“如鱼得水”
.
不费功夫了．
[
小笑话
]
某天军训中，教练对同学说：
“第一排报数！
”小明惊讶的看着教练
.
教练很奇怪的又说了一遍：
“第一排报数！
”小明还是很无奈很惊讶的看着教练
.
教练又大声说了一遍：
“第一排报数！
”于是小明极
其不情愿的走到大树前抱着树
.
（二）其它游戏中的取胜策略
【例
5
】
有
100
个人站成一排，从左到右依次进行
1
，
2
报数 ，凡是报
1
的人
离开队伍，
剩下的人继续从左到右进行
1
，
2
报数，
最后留在队伍中的人获胜，
如此下去，要想获胜，应站在队列中的第 几个位置？
分析：将这
100
个人从左到右依次编号为
1
，
2
，
3
，…，
98
，
99
，
100
．
第一次报完后
.
剩下的是
2
的倍数，
2
，
4
，
6
，
8
，
10
，…，
96
，
98
，
100
．
第二次报完后，剩下 的是
4
的倍数，
4
，
8
，
12
，
16
，…，
92
，
96
，
100
．
第三次报完后，剩下的是
8
的倍数，
8
，
16
，
24
，…，
80
，
88
，
96．
第四次报完后，剩下的是
16
的倍数，
1 6
，
32
，
48
，
64
，
80
，
96
．
第五次报完后，剩下的是
32
的 倍数，
32
，
64
，
96
．
第六次报完后，还剩下一人，也就是第
64
人．
所以要想获胜，应站在队伍中的第
64
个位置
.
[
数学趣题
]
神父的诡计
一艘不大的船只在 海上遇到了风暴，摆在船上
25
位乘客面前的路只有两条：要么全部乘客与船只同归
于 尽；要么牺牲一部分人的生命，把他们抛进大海，减轻船的载重量，船及其他人还有得救的可能，但
是这 样做至少得把一半以上的人抛进海里
.
大家都同意走第二条路，然而谁也不愿意自动跳进海里< br>.
乘客
里有
11
个基督徒，其中一个是神父，于是大家就公推神父出个 主意
.
奸诈的神父想了一下，就让大家坐
成一个环形，并且从他依序报数，
“
1
，
2
，
3
”
，规定报到“
3
” 的人就被抛进海里，下一个继续由“
1
”报
起，同时声称这是上帝的旨意，大家的命运 都由上帝来安排，不得抗拒
.
结果有
14
个人被抛进海里，而
剩下的
11
个人全部都是基督徒
.
大难不死的其它
10
个基督徒突 然醒悟过来，
原来神父是用诡计救了他们
.
请你想想，这
11
个人应 在什么位置，才可以避免被抛进海里去呢？
分析：神父只要让
11
个基督徒占领
1
、
4
、
5
、
8
、
10
、
13
、
14
、
17
、
19
、
22
、
23
这
11
个位置，就可以保
证他们不 被抛进海里
.
红
黑
【例
6
】
右图是一种“红黑棋”
， 甲、乙两人玩棋，分别取红、黑两方．规
定：下棋时，每人每次只能走任意一枚棋，每枚棋子每次可以走 一格或几
红
黑
格．红棋从左向右走，黑棋从右向左走，但不能跳过对方棋子走，也不能
黑
红
重叠在对方有棋子的格中．一直到谁无法走棋时，谁就失败．甲先乙后走
红
黑
棋，问甲有没有必胜的策略？
黑
红
红黑
分析：甲若想必胜，那么甲走一次棋后，
“乙能走甲就能走”
，观察棋盘，第二、三行都有
9
个空格，第四、五行都有
5
个空格，而第一行只有1
个
空格，第六行有
3
个空格，因此甲第
1
次只要将第 六行也变为
1
个空格，那么就形成一种对称局面，
“乙
能走甲就能走”
．因此甲有必胜的策略：甲先把第六行的红棋向右走两格，使中间只有一个空格．以后乙
走第一行，甲 就相应地走第六行；乙走第二行，甲就相应地走第三行；乙走第三行；甲就相应地走第二
行；乙走第四行 ，甲就相应地走第五行，乙走第五行，甲就相应地走第四行；乙走第六行，甲就相应地
走第一行．且每次 甲与乙走的格数要相同，那么最后肯定是乙无法走棋失败，甲必胜．
【例
7
】
把一棋子放在如右图左下角格内，双方轮流移动棋子（只 能向右、向上或向右上移），一次可
向一个方向移动任意多格
.
规定不能将棋子直接从 左下角移到顶格处，谁把棋子走进顶格，夺取红旗，
谁
就获胜
.
问应如何取胜 ？
A
B
C
D
E
分析：采用倒推法.
由于只能向右、向上或向右上移，要把棋子走进顶格，应让对方最后一次把棋子走到
最右 边一列的格中，为了保证能做到这一点，倒数第二次应让棋子走进右图中的
A
格中
.< br>（对方从
A
格出
发，只能向右或向上移至最后一列的格中）所以要获胜，应先占 据
A
格
.
同理可知，每次都占据
A
～
E
这
五个格中的某一格的人一定获胜
.
为保证取胜，应先走
.
首先把棋子 走进
E
格，然后，不管对方走至哪一
格，
（肯定不会走进
A
～
D
格），先走者可以选择适当的方法一步走进
A
～
D
格中 的某一格
.
如此继续，直
至对方把棋子走进最后一列的某个格中，此时先走者一步即可 走进顶格，夺取红旗，从而获胜
.