第四讲 规律问题学生版1
余年寄山水
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2021年01月23日 12:17
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-描写长江的古诗
规律问题
题型一：火柴问题
如图，下列图案均是长度相同的火柴 按一定的规律拼搭而成：第
1
个图案需
7
根火柴，第
2
个图 案需
13
根火柴，…，依此规律，第
11
个图案需
根火柴．
1
．如图是小明用火 柴搭的
1
条、
2
条、
3
条“金鱼”……
（
1
）根据上面的图形填写如表：
金鱼条数
火柴根数
1
2
3
…
…
n
（
2
）搭多少条金鱼需要
62
根火柴？
2
、下图是由一些火柴棒搭成的图案：
（
1
）摆第
①
个图案用
根火柴棒，
摆第
②
个图案用
根火柴棒，
摆第
③
个图案用
根火柴棒．
（
2
）按照这种方式摆下去，摆第
n
个图案用多少根火柴棒？
（
3
）计算一下摆
121
根火柴棒时，是第几个图案？
题型二：数表问题
将正整数
1
至
2019
按照一定规律排成下表：
记
a
ij
表示第
i
行第
j
个数，如
a
14
＝
4
表示第
1
行第
4
个数是4
．
（
1
）直接写出
a
42
＝
，
a
53
＝
；
（
2
）
①
如果
a
ij
＝
2019
，那么i
＝
，
j
＝
；②
用
i
，
j
表示
a
ij
＝
；
（
3
）将表格中的
5
个阴影格子看成一个整体 并平移，所覆盖的
5
个数之和能否等于
2027
．若能，求出这
5< br>个数中的最小数，若不能说明理由．
1
．< br>如图，
1
～
1225
这
1225
个自然数按图中规律 分别排列在网格中，
除对角线
MN
经过的
35
个数外，其它的数被分 成两部分，对角
线
MN
右上方
595
个数之和记为
S
1
，
对角线
MN
左下方的
595
个
数之和记为< br>S
2
，则
S
1
﹣
S
2
＝
．
2
．将正偶数按下表排列成
5
列：
第一行
第二行
第三行
第四行
…
第一列
16
32
第二列
2
14
18
30
…
第三列
4
12
20
28
第四列
6
10
22
26
第五列
8
24
根据上面的规律，则
2018
应在第
行，第
列．
题型三：格点问题
如图所 示，
有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，第二层每边有两个点，
第三层每
边 有三个点，依此类推
（
1
）第
5
层所对应的点数是
；
（
2
）六边形的点阵共有
n
层时的总点数是
．
1
、如图所示，将形状和大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第
1
幅
图形中“●”的个数为
a
1
，第
2
幅图形中“ ●”的个数为
a
2
，第
3
幅图形中“●”的个
数为
a
3
，…，以此类推，则
的值为
．
2
．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（
1
）第
5
个图形有多少黑色棋子？
（
2
）第
100
个图形有多少黑色棋子？
（
3
）第
n
个图形有多少黑色棋子？
（
4
）第几个图形有
2013
颗黑色棋子？请说明理由．
题型四：空间堆积
图
（
1
）
是一个水平摆放的小正方体木块，
图
（
2
）
．
（
3
）
是由这样的小正方体木块叠放而成，
按照这样的规律继续叠放下去，
则第
5
个叠放的图形中，
小正方体木块个数应是
个．
…
第
100
个叠放的图形中，小正方体木块个数应有
个．
1
、
墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形 ，如果你打算搬走其中部分
小正方体（不考虑操作技术的限制）
，但希望搬完后从正面、从上面 、从右面用平行光线
照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走
个小正方体．
2
、
1 5
．如图，观察由棱长为
1
的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图
①
中：共有
1
个小
立方体，其中
1
个看得见，
0
个 看不见；如图
②
中：共有
8
个小立方体，其中
7
个看得见，
1
个看不见；如图
③
中：共有
27
个小立方体，其 中
19
个看得见，
8
个看不见；…，
则第
⑥
个图中 ，看得见的小立方体有
个．
题型五：数的联系
已知整数
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
…满足下列条件：
a
1
＝
0
，
a
2
＝﹣
|
a
1
+1|
，
a
3
＝﹣
|
a
2
+2|
，
a
4
＝﹣
|
a< br>3
+3|
，
…
依此类推，则
a
2017
的值 为
．
1
、将正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵，根据这个排列规则，数阵中第
20
行从 左至右的第
3
个数是
．
2
、
a
是不为
0
和
1
的有理数，我们把
1
﹣
称为
a
的倒数差．如
2
的倒数差是
1
﹣
﹣
1
的倒数差是
1
﹣，
＝
2
．已知
a
1
＝﹣
，
a
2
是
a
1
的倒数差，
a
3
是
a
2
的倒数差，
a
4
是
a
3
的倒数差，…依此类推，则
a
2017
＝
．
课后练习：
< br>1
、如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第
1
个图案中有6
根小棒，第
2
个图案中有
11
根小棒，…，则第
n< br>个图案中有
根小棒．
2
．
法国数学家柯西于
1813
年在拉格朗日、
高斯的基础上彻底证明了
《费马多边形数定理》
，
其主要突破在“五边形数“的证明上 ．如图为前几个“五边形数“的对应图形，请据此
推断，第
6
个“五边形数”应该为< br>
，第
22
个“五边形数”应该为
．
3
．如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个 小格子中都填入一个整数，使得其中任意
三个相邻格子中所填整数之和都相等，
若取前
3
格子中的任意两个数记作
a
、
b
，
且
a
≥
b
，
那么所有的
|
a
﹣
b
|
的 和可以通过计算
|9
﹣★
|+|9
﹣☆
|+|
★﹣☆
|
得到，其结果为
，若
a< br>、
b
为前
16
格子中的任意两个数，且
a
≥
b
，则所有的
|
a
﹣
b
|
的和为
．
9
★
☆
x
﹣
6
2
……