同余法解题
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2021年01月23日 12:32
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-初一日记
同
余
法
解
题
Revised on November 25, 2020
五年级奥数培训资料
第六讲
同余法解题
一、
同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。同余的定义是这样的：
两个整
数，
a,b,
如果他们同时除以一个自然数
m
，所得的余数相同，则称a,b
对于模
m
同
余。。记作
a
≡
b
（）。读作：
a
同余于
b
模
m
。
同余的性质也比较多，主要有以下一
些：
1..
对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如
201×
95
的乘积对于除数
7
，与
201
÷
7
的余数
5
和
95
÷
7
的余数
4
的 乘积
20
对于
7
同余。
2..
对于同一个除数， 如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
例如
519
和
399
对于一个除数同余，那么这个除数一定是
519
与
399< br>的差的因数，即
519
与
399
的差一
定能被这个除数整除。
3..
对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。
例 如
20
和
29
对于一个除数同余，那么
20
的任何次方都和
29
的相同次方对于这个除
数同余，当然余数大小随次方变化。
4
．对于同一个除数，若三个数
a≡b
（
mod m
），
b≡c
（
mod m
），那么
a,b,c
三个数对于
除数
m
都同余
（传递性）
例如
60
和
76
同余于模
8
，
76
和
204
同余于模
8
，那么
60, 76,204
都同余于模
8
。
5.
对于同一个除数，
若四个数
a≡b
（
mod m
），
c≡d
（
mod m
），那么
a±c≡c±d
（
mod
m
），（可加减性）
6.
对于同一个除数，
若四个数
a≡b
（
mod m
），
c≡d
（
mod m
），那么
ac≡cd
（
mod
m
），（可乘性）
二、中国剩余定理解法
一个数被3
除余
1
，被
4
除余
2
，被
5
除余
4
，这个数最小是几
解法：
求
3
个数：第一个：能同时被
3
和
4
整除，但除以
5
余
4
，即
12X2
＝
24
第二个：能同时被
4
和
5
整除，但除以
3
余
1
，即
20X2
＝< br>40
第三个：能同时被
3
和
5
整除，但除以
4余
2
，即
15x2
＝
30
这
3
个数的 最小公倍数为
60
，所以满足条件的最小数字为
24
＋
40+30- 60=34
12X2
＝
24 20X2
＝
40 15x2
＝
30
中
2
的来历。
三、解题技巧
同余口诀：
“
差同减差，和同加和，余同取余，最小 公倍
n
倍加
”
这是同余问题的口
诀。
1
）、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反
求的这个数，可以选 除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：
“
差同减差
”
。
例 ：
“
一个数除以
4
余
1
，除以
5
余
2
，除以
6
余
3”
，因为
4-1=5-2=6-3=3< br>，所以取
-3
，
表示为
60-3
或者
60n-3 < br>2
）、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反
求 的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：
“
和同加和
”。
例：
“
一个数除以
4
余
3
，除以
5
余
2
，除以
6
余
1”
，因为
4+3=5+ 2=6+1=7
，所以取
+7
，表示为
60n+7
。
3
）、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，
可以 选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：
“
余同取余
”
。例：“
一个数除
以
4
余
1
，除以
5
余1
，除以
6
余
1”
，因为余数都是
1
，所以取
+1
，表示为
60n+1
。