(完整版)小学奥数同余问题
别妄想泡我
514次浏览
2021年01月23日 12:33
最佳经验
本文由作者推荐
-文明伴我成长作文
同余问题（一）
在平时解题 中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在
时刻是
7
时
30< br>分，再过
52
小时是几时几分？我们知道一天是
24
小时，
， 也就是说
52
小时里包含两个整天再加上
4
小时，这样就在
7
时
30
分的基础上加上
4
小时，就是
11
时
30
分。很明显这个问题的着眼点是放
在余数上了。
1.
同余的表达式和特殊符号
37
和
44
同除以
7
，余数都是
2
，把除数
7
称作“模
7
”，
37
、
44
对于模
7
同余。
记作：
（
mod7
）
“
”读作同余。
一般地，两个整数
a
和
b
，除以大 于
1
的自然数
m
所得的余数相同，就
称
a
、
b
对于模
m
同余，记作：
2.
同余的性质
（
1
）
（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）
（
2
）若
，那么
（这称作同余的对称性）
（
3
）若
传递性）
（
4
）若
为同余的可加性、可减性）
，
，则
（这称为同余的
，
，则
（）
（这称
（称为同余的可乘性）
（
5
）若
非常有趣的现象：
如果
，则
，
n
为正整数，同余还有一个
那么
（
的差一定能被
k
整除）
这是为什么呢？
k
也就是
的公约数，所以有
下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】
例
1.
用
412
、
13 3
和
257
除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然
数最大是几？
分析与解答：
假设这个自然数是
a
，因为
412
、
133
和
257
除以
a
所得的余数相同，所
以
，< br>，说明
a
是以上三个数中任意两数
差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的 最大公约数。
所以
a
最大是
31
。
例
2.
除以
19
，余数是几？
分析与解答：
如 果把三个数相乘的积求出来再除以
19
，就太麻烦了，利用同余思想解
决就容易了。< br>
所以
此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例
3.
有一个
1997
位数，它的每个数位都是
2
，
的第
100
位是几 ？最后余数是几？
分析与解答：
这个数除以
13
，商
这个数除以
13
，商是有规律的。
商是
170940
六个数循环，那么
，即
，
我们从左向右数“
170940
”的第4
个数就是我们找的那个数“
9
”，所以商的第
100
位是9
。
余数是几呢？
则
所以商的个位数字应是“
170940
”中的第
4
个，商 应是
9
，相应的余数
是
5
。
【模拟试题】
（答题时间：
20
分钟）
1.
求下列算式中的余数。
（
1
）
（
3
）
2. 6254
与
37
的积除以
7
，余数是几？
3.
如果某数除
482
，
992
，
1094
都余
74
，这个数是几？
同余问题（二）
【例题分析】
例
1.
除以
7
，余数是几？
分析与解答：
2
）
（
4
）
（
例
2.
一个自然数除以
3
余
2
，除以
5
余
3
，
除以
7
余
1
，
这个自然数最小是几？
分析：
假设这个自然数为
a
那么
这道题考虑的困难是它们的余数不相同。
如果把这道题改一下 ，
使它们的余数相同，
利用整除的知识，
便容易考虑了，
先看下面一道题：< br>
一个自然数除以
3
余
2
，除以
5
余
2
，除以
7
余
2
，那么，这个自然数若减去
2
， 便同时是
3
，
5
，
7
的倍数，这样的自然数有：
105
，
210
，
315
，……
分别被
3
，
5
，
7
除余
2
的数是
2
，
107
，
212
，
317
，……
最小的自然数是
2
。
回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？
稍加变式，可以写成：
这样同时是
3
，
5，
7
倍数的数有
105
，
210
，
315，……
那么同时被
3
，
5
，
7< br>余
8
的数有：
8
，
113
，
21 8
，
323
，……
其中最小的自然数为
8
。
例
3.
在求
5 1173526
被
7
除的余数时，小明这样做：
所以余数是
5
刘老师说，
小明的算法不仅正确，
而且巧妙迅速，< br>你知道其中的道理吗？
分析与解答：
看了下面的算式，你就会明白的。
小明用的这种方法，有比较广泛的应用，常称之 为“拼凑法”在解关于
用几除的余数的问题时，常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分，< br>简直可以“置之不理”，这样可以使解答过程简化。
例
4.
分析与解答：
在上式的加项中，
显然可以被
3
整除，因此只须计算
除以
3
的余数是几？为什么？
被
3
除余数是几。
由于
因此