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2021年1月23日发(作者：振兴中华)
小学奥数竞赛专题之同余问题



[
专题介绍
]
：同余问题



生活中我 会经常遇到与余数有关的问题，比如：某年级有将近
400
名学生。有一次演
出节目排 队时出现：如果每
8
人站成一列则多余
1
人；如果改为每
9
人站成一列则仍多余
1
人；结果发现现成每
10
人结成一列，结果还是多余< br>1
人；聪名的你知道该年级共有学生
多少名吗？



假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站
8
人或
9
人或
10
人都将刚好站
齐。因此此时学生人数应是
8
、
9
、< br>10
公倍数，而
8
、
9
、
10
的最小公倍数 是
360
，因此可
知该年级共有
361
人。



研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多较为复杂的问题。



[
分析
]


1
、两个整数
a
和
b
，除以一个大于
1
的自然数
m
所得余数相同 ，就称
a
和
b
对于模
m
同余或称
a
和b
在模
m
下同余，即
a≡b
（
modm
）


2
、同余的重要性质及举例。


< br>〈
1
〉
a≡a
（
modm
）（
a
为 任意自然）



〈
2
〉若
a≡b
（modm
），则
b≡a
（
modm
）



〈
3
〉若
a≡b
（
modm
），
b≡c
（
modm
）则
a≡c
（
modm
）


〈
4
〉若
a≡b
（
modm< br>），则
ac≡bc
（
modm
）


〈
5
〉若
a≡b
（
modm
），
c≡d
（
modm
），则
ac=bd
（
modm
）



〈
6
〉若
a≡b
（
modm
）则
an≡bm
（
modm
）



其中 性质〈
3
〉常被称为

同余的可传递性

，性质〈
4< br>〉、〈
5
〉常被称为

同余的可乘
性，

性质〈
6
〉常被称为

同余的可开方性



注意：一般地同余没有

可除性

，但是：



如果：
ac=bc
（
modm
）且（
c
，
m
）
=1
则
a≡b
（
modm
）



3
、整数分类：



〈
1
〉用
2
来将整数分类，分为两类：



1
，
3
，
5
，
7
，
9
，
……
（奇数）



0
，
2< br>，
4
，
6
，
8
，
……
（偶数）


〈
2
〉用
3
来将整数分类，分为三类：



0
，
3
，
6
，
9
，
1 2
，
……
（被
3
除余数是
0
）



1
，
4
，
7
，
10
，
13
，
……
（被
3
除余数是
1
）



2
，
5
，
8
，
11
，
14
，
……
（被
3
除余数是
2
）



〈
3
〉在模
6
的情况下，可将整数分成六类，分别是：



0
（
mod6
）：
0
，
6< br>，
12
，
18
，
24
，
……



1
（
mod6
）：
1
，
7< br>，
13
，
19
，
25
，
……



2
（
mod6
）：
2
，
8< br>，
14
，
20
，
26
，
……



3
（
mod6
）：
3
，
9< br>，
15
，
21
，
27
，
……



4
（
mod6
）：
4
，
10
，
16
，
22
，
29
，
……



5
（
mod6
）：
5
，
11
，
17
，
23
，
29
，
……



[
经典例题
]


例
1< br>：求
437×
309×
1993
被
7
除的余数。


思路分析：如果将
437×
309×
1993< br>算出以后，再除以
7
，从而引得到，即
437×
309×
19 9
3=269120769
，此数被
7
除的余数为
1
。但是 能否寻找更为简变的办法呢？



473≡3
（
mod7
）



309≡1
（
mod7
）



由

同余的可乘性

知：



43 7×309≡3×1
（
mod7
）
≡3
（
mod7
）



又因为
1993≡5
（
mod7
）



所以：
437×309×1993≡3×5
（
mod7
）



≡15
（
mod7
）
≡1
（
mod7
）



即：
437×
309×
1993
被
7
除余
1
。



例
2
：
70
个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两 边两个
数的和，这一行最左边的几个数是这样的：
0
，
1
，
3
，
8
，
21
，
……
，问这一行数最右边的
一个数被
6
除的余数是几？



思路分析：如果将这< br>70
个数一一列出，得到第
70
个数后，再用它去除以
6
得余 数，
总是可以的，但计算量太大。



即然这
70
个数中：中间的一个数的
3
倍是它两边的数的和，那么它们被
6
除以后的余
数是否有类似的规律呢？



0
，
1
，
3
，
8
，
21
，
55
，
144< br>，
……
被
6
除的余数依次是



0
，
1
，
3
，
2
，
3
，
1
，
0
，
……



结果余数有类似的规律，继续观察，可以得到：



0
，
1
，
3
，
2
，
3
，
1
，
0
，
5
，
3
，
4
，
3
，
5
，
0
，
1
，
3
，
2
，
3
，
……



可以看出余数前
12
个数一段，将重复出现。



70÷2=5……10
，第六段的第十个数为
4
，这便是原来数中第
70< br>个数被
6
除的余数。



思路分析：我们被直接用除法算式，结果如何。



例
4
、分别求满足下列条件的最小自然数：



（
1
）用
3
除余
1
，用
5
除余
1
，用
7
除余
1
。



（
2
）用
3
除余
2
，用
5
除余
1
，用
7
除余
1
。



（
3）用
3
除余
1
，用
5
除余
2
，用7
除余
2
。



（
4
）用
3
除余
2
，用
7
除余
4
，用
11
除余
1
。



思路分析：



（
1
）该数减去
1
以后，是
3
，
5
和
7
的最小公倍数
105
，所以该数的是
105+1= 106


（
2
）该数减去
1
以后是
5
和
7
的公倍数。因此我们可以以
5
和
7
的公倍数中 去寻找答
案。下面列举一些同时被
5
除余
1
，被
7
除余
1
的数，即



1
，
36
，
71
，
106
，
141
，
176
，211
，
246
，
……
从以上数中寻找最小的被
3除余
2
的
数。



36≡0
（mod3
），
71≡2
（
mod3
），符合条件的最小的数是< br>71
。



（
3
）我们首先列举出被5
除余
2
，被
7
除余
2
的数，
2，
37
，
72
，
107
，
142
，< br>177
，
21
2
，
247
，
……



从以上数中寻找最小的被
3
除余
1
的数。



2
（
mod3
），
37≡
（
mod3< br>）、因此符合条件的最小的数是
37
。



（4
）我们从被
11
除余
1
的数中寻找答案。



1
，
12
，
23
，
34
，45
，
56
，
67
，
78
，
89，
100
，
133
，
144
，
155
，
166
，
177
，
188
，
199
，< br>210
，
232
，
243
，
……



1
（
mod3
）；
1
（
mod7
），不符合



12≡0
（
mod3
），12≡5
（
mod7
）不符合



23≡2
（
mod3
），
23≡2
（
mod7
）不符合


34≡1
（
mod3
），
34≡6（
mod7
）不符合



45≡0
（
mod3
），
45≡3
（
mod7
）不符合



56≡2
（
mod3
），
56≡0
（
m od7
）不符合



67≡1
（
mod3
），
67≡4
（
mod7
）不符合



78≡0
（
mod3
），
78≡1
（
mod7
） 不符合



89≡2
（
mod3
），
8 9≡5
（
mod7
）不符合



100≡1（
mod3
），
100≡2
（
mod7
）不符合



122≡2
（
mod3
），
122≡3< br>（
mod7
）不符合



133≡1
（< br>mod3
），
133≡0
（
mod7
）不符合



144≡1
（
mod3
），
144≡4
（
mod7
）不符合



155≡2
（
mod3
），
155≡1
（
mod7
）不符合



166≡1
（
mod3
），
166≡5
（
mod7
）不符合



177≡0
（
mod3
），
177≡2
（
mod7
）不符合



188≡2
（
mod3
），
188≡6
（
mod7
）不符合



199≡1
（
mod3
） ，
199≡3
（
mod7
）不符合



210≡0
（
mod3
），
210≡0
（
mod7
）不符合



221≡2
（
mod3
），
221≡4
（
mod7
）符合



因此符合条件的数是
221
。



例
5
判断以下计算是否正确



（
1
）
42784×
3968267=46


（
2
）
42784×
3968267=48


思路分析：若直接将右边算出，就可判断



41784×
3968267=8
，可知以上两结果均是错的；但是计算量太大。



如果右式和左式相等，则它们除以某一个数余数一定相同。因为求一个数除以
9
的余< br>数只需要先求这个数数字之和除以
9
的余数，便是原数除以
9
的余数。 我考虑上式除以
9
的余数，如果余数不相同，则上式一定不成立。



（
1
）从个位数字可知，右式的个位数字只能是
8
，而右 式个位为
6
，因此上式不成
立。



（
2
）右式和左式的个位数字相同，因而无法断定上式是否成立，但是



4+2+7+8+4=25
，
25≡7
（
mo d9
）



3+9+6+8+2+6+7=41
，
41≡5
（
mod9
）



42784≡7< br>（
mod9
）；
3968267≡5
（
mod9
）< br>


42784×3968267≡35
（
mod9
）



≡8
（
mod9
）



（< br>1+6+9+7+5+9+8+9+4+2+3+4+8
）
≡3
（
mo d9
）



因此（
2
）式不成立



以上是用

除
9
取余数

来验证 结果是否正确，常被称为

弃九法

。



不过应该注意，用弃九法可发现错误，但用弃九法没找出错误却不能保证原题一定正
确。



习题



1
、求
16×< br>941×
1611
被
7
除的余数。


< br>3
、判断结果是否正确：（
1
）
5483×
9117=498 88511


（
2
）
1226452÷
2683=334


4
、乘法算式



3145×
92653=29 1093995
的横线处漏写了一个数字，你能以最快的办法补出吗？



5
、
13511
，
13903
，
14589
被自然数
m
除所得余数相同，问
m
最大值是多少？

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