-张扬个性

2021年1月23日发(作者：我想偷偷望呀望一望他)
第五讲

同余的概念和性质

你会解答下面的问题吗？
< br>问题
1
：今天是星期日，再过
15
天就是“六·一”儿童节了，问“六 ·一”儿童节是
星期几？

这个问题并不难答
.
因为，一个星期有< br>7
天，而
15
÷
7=2
…
1
，即
1 5
＝
7
×
2+1
，所以
“六·一”儿童节是星期一。

问题
2
：
1993
年的元旦是星期五，
1994
年的元旦是星期几？

这个问题也难不倒我们
.
因为，
1993< br>年有
365
天，而
365=7
×
52+1
，所以1994
年的元
旦应该是星期六。

问题
1
、
2
的实质是求用
7
去除某一总的天数后所得的余数
.
在日常生活中， 时常要注
意两个整数用某一固定的自然数去除，
所得的余数问题
.
这样就产生 了
“同余”
的概念
.
如问题
1
、
2
中的< br>15
与
365
除以
7
后，余数都是
1
，那么 我们就说
15
与
365
对于模
7
同余。

同余定义：若两个整数
a
、
b
被自然数
m
除有相同的余数， 那么称
a
、
b
对于模
m
同余，
用式子表示为：
a
≡
b
（
modm
）
.
（
*
）

上式可读作：

a
同余于
b
，模
m
。

同余式（
*
）意味着（我们假设
a
≥
b
）：

a-b=mk
，
k
是整数，即
m
｜（
a-b
）
. 例如：①
15
≡
365
（
mod7
），因为
3 65-15=350=7
×
50
。

②
56
≡20
（
mod9
），因为
56-20=36
＝
9
×
4
。

③
90
≡
0
（
mod 10
），因为
90-0
＝
90=10
×
9
。

由例③我们得到启发，
a
可被
m
整除，可用同余式表示为：a
≡
0
（
modm
）。

例如，表示
a
是一个偶数，可以写

a
≡
0
（
mod 2
）

表示
b
是一个奇数，可以写

b
≡
1
（
mod 2
）

补充定义：若< br>m
（
a-b
），就说
a
、
b
对模
m
不同余，用式子表示是：

a
b
（
modm
）

我们书写同余式的方式，使我们想起等式，
而事实上，
同余式与等式在其性质上相似
.
同余式有如 下一些性质（其中
a
、
b
、
c
、
d
是整数 ，而
m
是自然数）。

性质
1
：
a
≡
a
（
mod m
），（反身性）

这个性质很显然
.
因为
a-a=0=m
·
0
。

性质
2
：若
a
≡
b
（
mod m
），那么
b
≡
a
（
mod m
），（对称性）。

性质
3
：若
a
≡
b
（
mod m
），
b
≡
c
（
mod m
），那么
a
≡
c
（
mod m
），（传递性）。

性质
4
：若
a
≡
b
（
mod m
），
c
≡
d
（
mod m
），那么
a< br>±
c
≡
b
±
d
（
mod m
），（可加减
性）。

性质
5
：若
a
≡
b
（
mod m
），
c
≡
d
（
mod m
），那么
ac
≡
bd
（
mod m
）（可乘性）。

性质
6
：若
a
≡
b
（
mod m
），那么
a
n
≡
b
n
（
mod m
），（其中
n
为自然数）。

性质
7
：若
ac
≡
bc
（
mod m），（
c
，
m
）
=1
，那么
a
≡b
（
mod m
），（记号（
c
，
m
）
表示
c
与
m
的最大公约数）。

注意同余式性质
7
的条件（
c
，
m
）＝
1
，否则像普通等式一样， 两边约去，就是错的。

例如
6
≡
10
（
mod 4
），而
3
5
（
mod 4
），因为（
2
，
4
）≠
1
。

请你自己举些例子验证上面的性质。

同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。

例
1
判定
288
和
214
对于模
37
是否同余，
74
与
20
呢？

解：∵
288-214=74=37
×
2
。

∴
288
≡
214
（
mod37
）。

∵
74-20=54
，而
37
54
，

∴
74
20
（
mod37
）。

例
2
求乘积
418
×
814
×
1616
除以
13
所得的余数。

分析

若先求乘积，再求 余数，计算量太大
.
利用同余的性质可以使“大数化小”，减
少计算量。

解：∵
418
≡
2
（
mod13
），
< br>814
≡
8
（
mod13
），
1616
≡< br>4
（
mod13
），

∴

根据同余的性质
5
可得：

418
×
814
×
1616
≡
2
×
8
×
4
≡
6 4
≡
12
（
mod13
）。

答：乘积
4 18
×
814
×
1616
除以
13
余数是
12
。

例
3
求
143
89
除以
7
的余数。

分析

同余的性质能使
“大数化小”
，
凡求大数的余数问题 首先考虑用同余的性质化大
为小
.
这道题先把底数在同余意义下变小，
然后从 低次幂入手，
重复平方，
找找有什么
规律。

解法
1
：∵
143
≡
3
（
mod7
）

∴
143
89
≡
3
89
（
mod 7
）

∵
89
＝
64+16+8+1
而
3
2
≡
2
（
mod 7
），

3
4
≡
4
（
mod7
），

3
8
≡
16
≡
2
（
mod 7
），

3
16
≡
4
（
mod 7
），

3
32
≡
16
≡
2
（
mod 7
），

3
64
≡
4
（
mod 7
）。

∵
3
89
≡
3
64
·< br>3
16
·
3
8
·
3
≡
4
×
4
×
2
×
3
≡
5
（
mod 7
），

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