不定方程的解法
巡山小妖精
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2021年01月23日 13:21
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-以感动为话题的作文800字
基本介绍
编辑本段
不定方程是
数 论
的一个分支，它有着悠
久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、
正整数、
有理数或代数整数的方程或方程组，
其未知数的个数通常多于方程的
个数。
古希腊数学家
丢番图
于三世纪初就研究过若干 这类方程，
所以不
定方程又称丢番图方程，
是数论的重要分支学科，
也是历史 上最活跃
的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，
与代数数论、
几何数论 、
集合数论等等都有较为密切的联系。
1969
年，莫德尔较系统地总结
了这 方面的研究成果。
2
发展历史
编辑本段
不定方程是数论中最古老的分支之一。古
希腊的丢番图早在公 元
3
世纪就开始研究不定方程，
因此常称不定方
程为丢番图方程。
D iophantus
，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，
流传下来关于他的生平事迹并不多。
今天我们称整系数的不定方程为
「
Diophantus
方程」，内容主要是 探讨其整数解或有理数解。他有
三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了
189
个问题及其答
案，而许多都是不定方程组
（变量的个数大于方程的个数）或不定
方程式
（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程
通常有无穷多解的。
研究不定方程要解决三个问题：
①判断何时有解。
②有解时决定
解的个数。③求出所有的解。
中国
是研究不定方程最早的国家，公元
初的五家 共井问题就是一个不定方程组问题，公元
5
世纪的《
张丘
建算经》
中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九
韶的大衍求一术将不定方程 与同余理论联系起来。百鸡问题说：
“鸡
翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百 钱买百鸡，问
鸡翁、母、雏各几何”。设
x
，
y
，
z
分别表鸡翁、母、雏的个数，则
此问题即为不定方程组的非负整数解
x
，
y
，
z
，这是一个三元不定方
程组问题。
3
常见类型
编辑本段
⑴求不定方程的解；
⑵判定不定方程是否有解；
⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
4
方程相关
编辑本段
一次不定方程
二元一次不定方程的一般形式为
ax+by=c
。其中
a
，
b
，
c
是整
数，
ab
≠
0
。此方程有整数解的充分必要条件是
a
、
b
的最大公约数
整除
c
。若
a
、
b
互质，即它们的最大公约数为
1
，（
x0
，
y0
）是所给
方程的一个解，
则此方程的解可表为
{(x=x0-bt
，
y=y0+at
）
|t
为任
意整数
}
。
S
（≥< br>2
）元一次不定方程的一般形式为
a1x1+a2x2+
…
+asxs =n0a1
，…，
as
，
n
为整数，且
a1
…as
≠
0
。此方程有整数解的
充分必要条件是
a1
，… ，
as
的最大公约数整除
n
。
埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程
公元前
300
年，古希腊数学家
欧几里得
就发现了数论的本质是素数，他自己
证明了有无穷多个素数 ，
公元前
250
年古希腊数学家埃拉托塞尼发明
了一种筛法：
一
“要得到不大于某个自然数
N
的所有素数，
只要在
2 ---N
中将
不大于√
N
的素数的倍数全部划去即可”。
二后来人们将上面的内容等价转换：
“如果
N
是合数，则它有一< br>个因子
d
满足
1
N
”。（《基础数论》13
页，
U
杜德利著，
上
海
科技出版社）
..
三再将二的内容等价转换：“若自然数
N
不能被不大 于（根号）
√
N
的任何素数整除，则
N
是一个素数”。见（代数学辞 典
[
上海教
育出版社
]1985
年。屉部贞世朗编。
259
页）。
四上面这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：
N
=
p
1
m
1+
a
1=
p
2< br>m
2+
a
2=......=
p
k
m
k+< br>a
k
。
⑴
其中
p
1
，
p
2
，
.....
，
p
k
表示顺序素数
2
，
3
，
5
，，，，，。
a
≠
0
。即
N
不能是
2m+ 0
，
3m+0
，
5m+0
，
...
，
p< br>km+0
形。若
N
<
P
（
k+1
）
的平方
[
注：后面的
1
，
2
，
3
，....
，
k
，（
k+1
）是脚标，由于打印
不出来，
凡
字母
后面的数字或者
i
与
k
都是脚标
]
，
则
N
是一个素数。
五可以把（
1
）等价转换成为用同余式组表示：
N
≡
a1(modp1
），
N
≡
a2(modp 2
），
.....
，
N
≡
ak(modpk
）。< br>⑵
例如，
29
，
29
不能够被根号
29
以下的任何素数
2
，
3
，
5
整除，
29=2x14+1=3x9+2=5x5+4
。
29≡
1(mod2
）
，
29
≡
2(mod3
）< br>，
29
≡
4(mod5
）
。
29
小于7
的平方
49
，所以
29
是一个素数。
以后平方用“
*
”表示，即：㎡
=m*
。
由于⑵的模
p1
，
p2
，
....
，
pk
两两互素，根据
孙子定理
（中国
剩余定理）知，⑵在
p1p2... ..pk
范围内有唯一解。
例如
k=1
时，
N=2m+1
，解得
N=3
，
5
，
7
。求 得了（
3
，
3*
）区间
的全部素数。
k=2
时，
N=2m+1=3m+1
，解得
N=7
，
13
，
19
；
N=2m+1=3m+2
，解得
N=5< br>，
11
，
17
，
23
。求得了（
5
，
5*
）区间的全部素数。
k=3
时，
---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|
---------------------|--- ------|----------|--------|-------
--|
n=2m+1=3m+1= |--31----|--7,37-|-13,43|--19----|
n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---|
< br>----------------------------------------------- ------------
-
求得了（
7
，
7*
）区间的全部素数。仿此下去可以求得任意大的
数以内的全部素数。
多元一次不定方程
关于整数多元一次不定方程，< br>可以有矩阵解法、
程序设计
等相关
方法辅助求解。
二次不定方程
二元二次不定方程本质上可以归结为求二次曲线（即圆锥曲线）
的有理点或整点问题。
一类特殊的二次不定方程是
x^2+y^2=z^2
，其正整数 解称商高数
或勾股数或
毕达哥拉斯
数，
中国
《周髀算经》
中 有
“勾广三，
股修四，
经隅五”之说，已经知道
(3
，
4
，
5
）是一个解。刘徽在注《九章算
术》中又给出了（
5
，
12
，
13
），（
8
，
15
，
1 7
），
(7
，
24
，
25
），
（
20
，
21
，
29
）几组勾股数。它的全部正整数解已在
16
世纪前得到。
这类方程本质上就是求椭圆上的有理点。
< br>另一类特殊的二次不定方程是所谓佩尔方程
x2
－
Dy2=1
，
D
是非
平方的正整数。
利用连分数理论知此方程永远有解。
这类方程就是求
双曲线
上的有理点。
最后一类就是平方剩余问题，
即求
x^2-py=q
的整数解，
用
高
斯
的同余理论来描述，就是求
x^2
≡
q(mod p)
的剩余类解。高斯发
现的著名二次互反律
给出了次方程是否有解的判定方法 。这类方程
就相当于求
抛物线
上的整点。
圆锥曲线对应的不定方程求解可以看做椭圆曲线算术性质的一
种特例。
高次不定方程
对高于二次的不定方程，相当复杂。当
n>2
时，
x^n+y^n=z^n
没
有非平凡的整数解
，即著名的费马大定理
，历经
3
个世纪
，已由
英国
数学家安德鲁
·维尔斯证明完全可以成立。
有一些高次方程同样无解：
多元高次不定方程
多元高次不定方程没有一般的解法，
任何一种解法都只能解决一
些特殊的不定方程，如利用二次
域来讨论一些特殊的不定方程的整数解．常用的解法
⑴代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；
⑵不等式估算 法：
利用不等式等方法，
确定出方程中某些变量的
范围，进而求解；
⑶同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的
范围或性 质，得出不定方程的整数解或判定其无解；
⑷构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，
证明方程有无穷多解；
⑸无穷递推法。
特殊求解方法
一二元一次不定方程（组）
定义
1.
形如
ax + by = c ( a
，
b
，
c
∈
Z
，
a
，
b
不同时为零）
的方程称为二元一次不 定方程。
定理
1.
方程
ax + by = c
有解的充要是
( a,b ) | c
；
定理
2.
若（
a,b ) = 1
，且
x_0
，
y_0
为
ax + by = c
的一个
解，
则方程的一切解都可以表示成
|
|
|
|
|
定理
3. n
元一次不定方程
a_1x_1 + a_2x_2 +
…
+ a_nx_n = c
，
（
a_1
，
a_2
，…
a_n
，
c
∈
N
）有解的充要条件是：（
a_1
，
a_2
，…
a_n ) | c.
方法与技巧：
1
．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先
求
ax + by = c
一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，
有时可以通过观察法求得其 解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容
易得其特解为止；
2
．解
n
元一次不定方程
a_1x_1
+
a_2x_2
+
…
+
a_nx_n
=
c
时，
可先顺次求出
(
a_1
，
a_2
)
=
d_2
，
（
d_2
，
a_3
)
=
d_3
，
…，
（
d_(n-1
）
，
a_n ) = d_n.
若
c
不能被
d_n
整除，则方程无解；若
c
可以被
d_n
整除，则方程有解，作方程组：
|
|
|
|
|
求出最后一个方程的一切解，然后把
t_(n-1)
的每一个值代入
倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
3
．
m
个
n
元一次不定方程组成的方程组，其中
m < n
，可以消
去
m-1
个未知数，
从而消去了
m-1
个不定方程，
将方程组转化为一
个
n-m+1
元的一次不定方程。
二高次不定方程（组）及其解法
1
．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式
分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组；
2
．同余法：如果不定方程
F( x_1
，
x_2
，…，
x_n ) = 0
有整
数解，则对于任意
m
∈
N
，其整数解
( x_1
，
x_2
，…，
x_n )
满足
F( x_1
，
x_2
，…，
x_n )
≡
0 ( modm
），利用这一条件，同余可
以作为探究不定方程整数解的一块试金石；
3
．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的
范围，再分 别求解；
4
．无限递降法：若关于正整数
n
的命题
P(n)
对某些正整数成
立，设
n_0
是使
P(n)
成立的最小正整数，可以推出：存在正整数
n
，使得
n_1 < n_0
成立，适合证明不定方程无正整数解。
方法与技巧：
1
．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数
的唯一分解定理，
分解法作为解题的一种手段，
没有因定的程序可循，
应具体的例子中 才能有深刻地体会；
2
．同余法主要用于证明方程无解或导出 有解的必要条件，为进
一步求解或求证作准备。
同余的关键是选择适当的模，
它需要经 过多
次尝试；
3
．不等式估计法主要针对方程有整数 解，则必然有实数解，当
方程的实数解为一个有界集，
则着眼于一个有限范围内的整数解至多< br>有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着
眼于整数，利用整数的各种性 质产生适用的不等式；